Wie berechne ich die Dichtefunktion der Summe zweier gleichverteilten Zufallsvariablen x, y ~ U[-1,1]?
In Folgender Aufgabenstellung (b) wird nach der Dichte der Summe gefragt. mit den Grenzen [0,1] finde ich die Aufgabe verständlich, jedoch verstehe ich nicht wie ich die Grenzen der Integrale bei Gleichverteilung über [-1,1] richtig setzte. Ich wäre über eine Erläuterung sehr dankbar. Verwendet habe ich den Ansatz f_s(t) = // f_x(x) * f_y(t-x) dx.
1 Antwort
Also die Dichte der beiden Gleichverteilungen ist ja gleich 1/2 wenn x in [-1,1] liegt und 0 sonst.
Mit S=X+Y ist f_S(t) gleich dem Integral:
f_X(x)*f_Y(t-x)dx über R
Das Produkt der Beiden Dichten ist genau dann nicht 0 (also 1/4), wenn -1<=x<=1 und -1<=t-x<=1
Bzw wenn -1<=x<=1 und t-1<=x<=t+1
Für t<0 bekommst du somit die Grenzen [-1,t+1] (da dann t-1<-1 gilt)
Und für t>=0 die Grenzen [t-1,1]
Für -2<=t<0 ist somit f_S(t) = (t+2)/4
Und für 0<=t<=2 ist f_S(t)= (2-t)/4