Volumenintegral?
Das Integral über das Volumen nennt man Volumenintegral.
Mein Beispiel soll klassischer Natur sein: f liefert die Dichte rho. dxdydz ist ein infinitesimaler kleiner Würfel, multipliziert mit der Funktion, und den Grenzen die über das gesamte Intervall geschoben werden, ergibt die Summe am Ende die Masse des Körpers.
Bis jetzt war ich soweit, an alle drei Grenzen einfach jeweils 6 Zahlen hinzuschreiben, nur mit einfachen Werten könnte man nur die Masse eines Quaders berechnen, wäre ja langweilig. Wie kommt man an andere Formen?
Liege ich mit meiner Behauptung richtig, man nehme einfach in die beiden inneren Integrale abhängige Größen dazu? Also z. B. ganz innen von 0 bis 5/y, etc.
Mit diesem kleinen Trick wäre es möglich, sich andere Massen von Formen zu errechnen, die nicht reine Quader sind?
2 Antworten
Richtig, so funktioniert das.
Ein Beispiel: https://math.stackexchange.com/questions/2225732/using-symmetry-to-solve-iiint-rxyz2dv-where-r0-leq-z-leq-1-x-y
Und noch ein Beispiel, bei dem die Autorin systematisch mehrere mögliche Reihenfolgen der drei Teilintegrationen durchgeht: https://www.kristakingmath.com/blog/triple-integrals-written-six-different-ways
So ist es. Wenn es mit den Grenzen zu schwierig wird, kommt man manchmal weiter, indem man das Problem in ein "passenderes" Koordinatensystem abbildet, das ja auch krummlinig sein kann.
Also deine Frage ist, wie man an andere Formen kommt?
Dann ist es folgendermaßen:
Wie du schon gesagt hast, entspricht einem infinitesimal kleinem Würfel, was bedeutet, dass du auch nur einen Quader als Ergebnis haben kannst. Wenn du einen anderen Körper berechnen willst, musst du also das Koordinatensystem vom kartesischen (x,y,z) zu einem anderen wechseln.
Z.b Zylinderkoordinaten (r,,z) mit r als Entfernung vom Ursprung und als Polarwinkel oder Kugelkoordinaten (r,,).
Die infinitesimalen Volumenelemente von diesen Systemen unterscheiden sich von dem des kartesischen und deshalb erhälst du auch Zylinder und Kugeln wenn du sie integrierst. Der Wikipedia-Artikel ist relativ hilfreich: https://de.wikipedia.org/wiki/Polarkoordinaten#Zylinderkoordinaten
Und dieses Integral was dann ganz außen steht, sollte von keiner anderen Grenze mehr abhängig sein und dann ist dieser Part ,,langweilig gerade"?
Die ganze infinitesimal Rechnung ist ein einziger Geniestreich, danke =)