Grenzwert bestimmen - wurzel stört

ich habe Schwierigkeiten den Grenzwert der folgenden Folge zu bestimmen. (siehe Bild)

ich habe versucht die wurzel zu eliminieren, bevor ich die folge gegen unendlich gehen lasse

ist mein ansatz soweit erstma richtig? und wie müsste weiter vorgehen?

da man das auf dieser plattform nicht so gut schreiben kann, sagt ihr mir am besten was ich tun soll. ihr braucht nicht die rechenschritte aufzuschreiben

Answer 1

[stekum]

Eleganter wäre die Lösung mit der binomischen Reihe. Es gilt (1 + x) hoch r = 1 + rx + bx² + cx³ + … Darin ist r ist eine reelle Zahl, b und c der 2.te und 3.te Binomialkoeffizient usw. √1 + x = (1 + x) hoch ½ ist daher 1 + 0,5x – 0,125x² …. Man rechnet zuerst um: 3n – √ 9n² + 3n + 1 = 3n – 3n√1 + 1/3n + 1/9n² = 3n(1 – √1 + 1/3n + 1/9n²). Die Wurzel entwickelt man binomisch in 1 + 1/6n + 1/18n² - 1/72n² - …(In der obigen Formel 1/3n + 1/9n² für x einsetzen.) Die Folgenglieder lauten somit 3n(- 1/6n - 1/24n² + …) = - ½ - 1/8n + … und der Grenzwert für n gegen Unendlich ist – 0,5.

Answer 2

[psychironiker]

Ich finden die Idee mit der Einführung eines Nenners gar nicht schlecht, nur ist

• das Vorzeichen bei der Anwendung der dritten binomischen Formel " - " und
• 3² = 9 ( nicht 3² = 6).

Damit kommt heraus:

lim 3n - √(9n² +3n +1) =

lim ( 9n² -9n² -3n -1 ) / (3n + √(9n² +3n +1) ) =

lim (-3n -1 ) / (3n + √(9n² +3n +1) ) =

Zähler und Nenner mit 1/ (3n) erweitern und ausmultiplizieren (nach der Regel "mit dem Kehrwert der höchstgradigen Potenz im Nenner erweitern"), 1/(3n) unter der Wurzel ergibt dort den Faktor 1 / (9n²)

lim (-1 -1/(3n) ) / (1 + √(1 +1/(3n) +1/(9n²)) ) =

-1/2,

denn der Rest geht → 0.

Comments

[FUCKmathematik]

habe eben einen einfacheren weg gefunden. man kann n² in der wurzel ausklammern und so kann man dann n kürzen

[FUCKmathematik]

@FUCKmathematik

(-3n -1 ) / (3n + √(9n² +3n +1) )

also hier kann man n² in der wurzel ausklammern und dann das wurzelgesetz anwenden √(a*b) = √(a) * √(b) und dann kann man n kürzen

[psychironiker]

@FUCKmathematik

lim (-3n -1 ) / (3n + √(9n² +3n +1) ) =

lim (-3 -1/n ) / (3 + √(9 +3/n +1/n²) ) =

-3 / (3 + √(9)) = -1/2;

das geht in der Tat auch, undi ist leichter :) .

Answer 3

[FUCKmathematik]

sehe gerade einen fehler am ende. im zähler muss 9n^2 stehen und nicht 6n^2

Comments

[Ellejolka]

und 3. Binom (a+b)(a-b )= a² - b²

[FUCKmathematik]

@Ellejolka

oh stimmt