Warum ist die Wurzel aus 5 irrational?
Ich bin seit 10 minuten an dieser aufgabe doch komme nicht weiter.Kann mir jemand weiterhelfen.
6 Antworten
Kennzeichen einer irrationalen Zahl ist es damit, dass sie nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen darzustellen ist.
Nun versuch Mal Wurzel 5 mit Ganzen Zahlen darzustellen. Ich wüsste nicht wie.
Das ist ein uraltes Problem, meistens findet man das als Frage: Warum ist die Wurzel von 2 irrational?
Man muss sich dazu schon ein bisschen was überlegen. Z.B. so:
Also, nehmen wir mal an, Wurzel aus 2 ist rational, also sqrt(2) = p/q mit irgendwelchen natürlichen Zahlen p und q, alles komplett ausgekürzt. Dann quadrieren wir mal gemütlich auf beiden seiten,
2 = p^2 / q^2
aka
2 q^2 = p^2.
Und das ist jetzt schon komisch, weil p^2 anscheinend den Faktor 2 enthält. Und wenn p^2 den Faktor 2 enthält, dann muss auf p den Faktor 2 enthalten; irgendwo muss er ja herkommen. Also ist p^2 auf jeden Fall auch durch 4 teilbar. Also muss q^2 auch den Faktor 2 enthalten. Also muss q auch den Faktor 2 enthalten. Aber p und q sind ja teilerfremd. HIER STIMMT WAS NICHT!!! Die Annahme ist also verkackt, sqrt(2) kann gar nicht rational sein.
Genau denselben Zirkus kannst du auch mit 5 durchprügeln. (Mit jeder Primzahl, um genau zu sein.)
https://de.wikipedia.org/wiki/Irrationale_Zahl
Hier findest Du die Erklärung! Hast Du keine Suchmaschine im Browser?
Weil es keine rationale Zahl gibt, deren Quadrat 5 ergibt ;-)
Hier hatte jemand dieselbe Frage: http://www.onlinemathe.de/forum/Beweis-bei-Wurzel-5
Vielleicht hilft dir das weiter.
LG