Beweis: n³-n ist teilbar durch 2 und 3?
Hallo,
Dass es durch 3 teilbar ist habe ich schon mit vollständiger Induktion zu zeigen hinbekommen, aber wie soll ich durch vollständige Induktion zeigen, dass es auch durch 2 teilbar ist?
2 Antworten
Hallo,
die Induktionsbehauptung darfst Du dabei ja benutzen.
Nach dem Induktionsanfang (1³-1=0 und 0 ist durch jede Zahl außer 0 teilbar, also auch durch 2 und 3) machst Du den Schritt zu n+1:
(n+1)³-(n+1)=n³+3n²+3n+1-n-1=n³-n+3n²+3n.
Da laut Induktionsbehauptung n³-n durch 2 und durch 3 teilbar ist, kann man diese Summe abspalten. Wenn die Behauptung stimmt, muß der Rest dann ja auch durch 2 und durch 3 teilbar sein.
Es bleibt 3n²+3n=3n*(n+1).
3n ist auf jeden Fall durch 3 teilbar, damit ist auch das Produkt 3n*(n+1) durch 3 teilbar.
Nun noch eine Fallunterscheidung:
Ist n gerade, ist der Beweis schon fertig, denn das Produkt aus 3 und einer geraden Zahl ist sowohl durch 3 als auch durch 2 teilbar.
Ist n dagegen ungerade, ist der andere Faktor n+1 gerade. Damit ist das Produkt 3n*(n+1) auch in diesem Fall sowohl durch 3 als auch durch 2 teilbar.
Herzliche Grüße,
Willy
Es geht doch nur noch darum, ob 3n*(3n+1) sowohl durch 2 als auch durch 3 teilbar ist. Durch 3 ist es auf jeden Fall teilbar, denn ein Faktor dieses Produkts ist eine 3.
Durch 2 ist es teilbar, wenn ein Faktor dazu auch noch gerade ist.
Wir haben aber keine reine Zahl mehr als Faktor, sondern nur noch Ausdrücke mit n - und n kann gerade oder auch ungerade sein.
Ist n gerade, ist natürlich auch 3n gerade. Somit hast Du in 3n einen Faktor, der sowohl durch 3 als auch durch 2 teilbar ist. Ist n dagegen ungerade, wird dadurch automatisch der Faktor n+1 gerade, denn jede ungerade Zahl plus 1 ist eine gerade Zahl. Da der eine Faktor 3n für alle n durch 3 teilbar ist und n+1 für ungerade n, ist das Produkt 3n*(n+1) auch in diesem Fall gerade und damit durch 3 und durch 2 teilbar.
Mache für n eine Fallunterscheidung gerade / ungerade.
Kannst du damit angeben, ob n³-n jeweils gerade oder ungerade ist?
Wenn es immer gerade ist, dann bist du fertig.
Wie soll ich das denn machen, kannst du das genauer erklären?
Wenn n ungerade ist, ist n³ das auch.
Wenn du zwei ungerade Zahlen voneinander anziehst, ist das Ergebnis immer ... .
Klar?
Kannst du den letzten Schritt mit der Fallunterscheidung nochmal erklären? Das verstehe ich nicht...