Untervektorraum Beweis?
Hallo, alle! Es gäbe da eine Matheaufgabe, bei der ich mir gar nicht sicher bin. Sie lautet folgendermaßen:
"Zeigt, dass wenn R und S zwei Untervektorenräume sind, ist R S ebenfalls ein Untervektorenraum."
Wüsste jemand vielleicht, wie ich dies beweisen könnte (also ein echter Beweis, keine kurze logische Erklärung)? Vielen Dank im Voraus!
3 Antworten
Nach Definition eines Untervektorraums U eines Vektorraums V über einem Körper K muss man zeigen, dass gilt:
- U ≠ ∅
- Für alle v, w ∈ U ist jeweils auch v + w ∈ U.
- Für alle λ ∈ K und alle v ∈ U ist jeweils auch λ ⋅ v ∈ U.
Im konkreten Fall sieht ein möglicher Beweis also folgendermaßen aus...
Welches Rechenzeichen steht denn zwischen R und S? Vereinigung oder Durchschnitt? Letztlich musst du nur zeigen dass für x, y im gewünschten Raum und a, b im Körper auch ax + by im gewünschten Raum liegt. Das ist nichts weiter als ein wenig Mengenlehre und Anwendung der Vektorraumaxiome.
Du hast es doch bereits hingeschrieben,
das gleiche für S
und wenn die Summe (bzw. das Produkt) in beiden Räumen ist ist sie auch wo?
Naja, seien mal x_1, x_2 Elemente des Durchschnitts von R und S. Dann liegt x_1 + x_2 in R, ebenso auch in S (weil R, S ja beides Teilräume sind). Also liegt r_1 + r_2 im Durchschnitt von R und S.
Und genauso für skalare Vielfache eines Vektors aus dem Durchschnitt.
Schreibfehler, wie üblich^^ : Es muss unten x_1+x_2 heißen (genauso wie oben natürlich).
Ach ja, Entschuldigung. Ich habe das Zeichen hingetan, doch es erscheint nicht; deshalb hier ist es noch einmal: ∩ (Es ist Durchschnitt; also das U aber umgekehrt). Danke für die Hilfe übrigens. Aber leider verstehe ich nicht genau, wie ich dies beweisen soll. Wir wissen, dass die Vektoren r_1 + r_2 noch in R ist und das α * r_1 ebenfalls noch in R ist (das gleiche für S), da dies die Hypothese ist. Aber wie soll dies beweisen, dass der Durchschnitt von R und S ebenfalls ein Untervektorenraum von IR^n ist?