Was ist der Unterschied zwischen den Graphen der Funktionen f und f'?
Guten Abend und zwar verzweifle ich mal wieder an Mathematik :-( ich verstehe einfach nicht was mir der Graph von f und was der von der Ableitungsfunktion darstellt .. Kann mir das jemand an diesem Beispiel erklären ? ( Nr.11) Wäre sehr lieb , danke :)
5 Antworten
Ableitung ist nichts weiter als der Anstieg der Funktion auf Höhe x.
Das Beispiel 2 vom Universal Diagramm
http://www.gerdlamprecht.de/Liniendiagramm_Scientific_plotter.htm
leist abgewandelt f(x): 2-x * x oder auch 2-pow(x,2)
zeigt eine rote Kurve - wie einen Berg.
Wenn Punkte = auto, sind die Buttons Ableitung (gestrichelte blaue) und Tangente aktiviert.
Stell Dir vor, Du bist der rote Punkt und gehst über den Berg (kann man mit der Maus anklicken). Die blaue Stange muss immer parallel zum Boden sein!
Oben auf dem Berg ist die Stange parallel zur x-Achse, also ist der Anstieg 0.
(Delta y zu Delta x ist 0)
Wenn Du herunter gehst verringert sich Dein y bei steigenden x -> Anstieg negativ:
(y2-y1)/(x2-x1)
Statt nun jeden Punkt extra zu betrachten erstellt man die Ableitungsfunktion:
f ' (x) = d f(x) /dx eingesetzt:
d (2-x²)/dx = -2 * x -> und genau das ist die gestrichelte blaue Kurve
2 Hinweise: - bei Wikipedia findet man es unter Differentialrechnung
- es gibt 2 Grundwege, um zum Anstieg (Ableitung) zu kommen:
a) numerisch (alles mit Tangente, Delta x/Delta y = Δx /Δy, lim)
b) symbolisch: mit Hilfe von Ableitungsregeln und Tafelwerken kann man zu
f ' (x) = d f(x) /dx gelangen
So können alle Polynome per Potenzregel direkt bestimmt werden.
A) Definition des Graphen überhaupt
Ich setze voraus, dass du überhaupt weißt, was ein Graph ist. Sonst sieh in
http://de.wikipedia.org/wiki/Funktionsgraph
nach.
B) Geometrische Bedeutung der Ableitung nach deren Definition
Sei P(x0|y=f(x0)) ein Punkt des Graphen von f. Dann ist
y = m * x + b = f'(x0) * x + f(x0) - x0 * f'(x0)
die Gleichung der Tangente t, die f in P berührt. Wie du der Gleichung entnimmst, ist f'(x0) die Steigung von t.
Aus dem Graph von f' lässt sich also punktweise die Steigung der jeweilige Tangente t als y-Wert ablesen.
C) Anwendung in der Kurvendiskussion
Aus B) lassen sich zum Beispiel folgende Schlussfolgerungen ziehen:
(Mit dem Satz von Rolle folgt: )
Wenn P ein Hoch- oder Tiefpunkt von f ist, hat f' eine Nullstelle.
(Mit der Definiton des Sattelpunktes als Nullstelle der Ableitung, die gleichzeitg Hoch- oder Tiefpunkt der Ableitung ist, folgt: )
Wenn P ein Sattelpunkt von f ist, hat f' ebenfalls eine Nullstelle.
Eine Nullstelle von f' ist einfach am Graphen von f' abzulesen.
. . .
(Mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung folgt: )
- Wenn f in einem (noch so kleinen) Intervall [a; b] streng monoton steigend ist, hat f' im Intervall ]a; b[ einen positiven Funktionswert.
- Wenn f in einem (noch so kleinen) Intervall [a; b] monoton steigend ist, hat f' im Intervall ]a; b[ einen nicht negativen Funktionswert (d.h. f'(x) kann positiv oder null sein).
- Wenn f in einem (noch so kleinen) Intervall [a; b] streng monoton fallend ist, hat f' im Intervall ]a; b[ einen negativen Funktionswert.
- Wenn f in einem (noch so kleinen) Intervall [a; b] monoton fallend ist, hat f' im Intervall ]a; b[ einen nicht positiven Funktionswert (d.h. f'(x) kann negativ oder null sein). .
Das Vorzeichen des Funktionswerts von f' , aus dem diese Schlussfolgerung über das Steigungsverhalten von f gezogen werden kann, ist ebenfalls leicht aus dem Graphen von f' abzulesen.
Kurz gesagt:
Im x,y-Koordinatensystem kannst du alle f(x)-Werte einzeichnen, denn y ist so zu sagen der zeichnerische Name von f(x).
In jedem Punkt gibt es eine Tangente, die eine Steigung hat. Diese Steigungen werden unter f'(x) versammelt und können in ein x,y'-Koordinatensystem gezeichnet werden.
Male dann auch oben an die senkrechte Achse ein y'. Dann merkt der Lehrer, dass du mitgedacht hast und gibt dir vielleicht einen Sonderpunkt. Das ist hilfreich bei Arbeiten, wenn sie auf der Kippe stehen.
f(x) sei die Menge von Keksen die du heute gegessen hast. Sagen wir du warst ständig am Essen. f'(x) sei die Ableitung f(x), welche beschreibt wie schnell du gegessen hast. Z.b. Um 13 Uhr hattest du Hunger: f'(13uhr)=40 kekse/stunde Und 10minuten später warst du satt, und hast langsammer gegessen: f'(13:10)=2kekse/stunde und nach halber stunde konntest du nicht mehr f'(13:40)=0 kekse/stunde. Aber dann wurde dir schlecht und die Ableitung hat einen negativen Wert bekommen (kannst ja selbst erraten was passiert wenn man zu viel Kekse isst :D Die zweite Ableitung f''(x) beschreibt wie deine "Schnelligkeit" Kekse zu essen sich verändert. Z.B.: f'(13:40)=0 und davor hattest du ja Lust Kekse zu essen aber um 13:40 nicht mehr, d.h. f''(13:40)<0. Dein Vermögen Kekse zu essen hat abgenommen, da du immer satter wurdest.
nimm ein auto als beispiel.
f(x) gibt dir an in welcher entfernung sich das auto befindet zu einem zeitpunkt.
f'(x) gibt dir hingegen an, wie schnell das auto fährt.
und durch ableiten von f(x) bzw. integrieren von f'(x) kannst du vom einen auf das andere schließen.
Der Graph ist die Visualisierung einer Funktion. Es ist die Linie, die du auf dein Papier zeichnest.
Was zu wem gehört, kannst du leicht feststellen, indem du mal einen Punkt in deine Funktion einsetzt (natürlich keinen Schnittpunkt ;) ).