Stammfunktion von h(x)?

Kann mir jemand mit Rechenweg "per Hand" sagen was die Stammfunktion für h(x)=√(1+0,000019x) ist?

Answer 1

[nobytree2]

$\int\sqrt{1+0,000019x}dx=\int\left(1+19\cdot10^{-6}x\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{19\cdot10^{-6}}\int19\cdot10^{-6}\left(1+19\cdot10^{-6}x\right)^{\frac{1}{2}}$ $=\frac{1}{19\cdot10^{-6}}\cdot\frac{2}{3}\cdot\left(1+19\cdot10^{-6}x\right)^{\frac{3}{2}}$

plus c

Hintergrund: Die innere Ableitung von a*x ist a. Diese muss innerhalb der Integration sein, wenn man (ax)^c als z^c zu 1/(c+1) x^(c+1) hoch integrieren will. Die Verschiebung um 1 ist ohne weitere Relevanz. Für c ungleich -1:

$\int\left(a\cdot x\right)^cdx=\int a\cdot\frac{1}{a}\left(a\cdot x\right)^cdx=\frac{1}{a}\int a\cdot\left(a\cdot x\right)^cdx=\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{c+1}\left(ax\right)^{c+1}+k$

Für c = -1:

$\int\left(ax\right)^{-1}dx=\int\frac{1}{ax}dx=\frac{1}{a}\int\frac{1}{x}dx=\frac{1}{a}\ln\left(x\right)+c$

Answer 2

[evtldocha]

Ich weiß nicht wie viel Rechenweg man da braucht, ich würde mir die formale Substitution u(x) = 1+0,000019 ·x ersparen und es direkt so schreiben: $h\left(x\right)\ =\ (1+0,000019\cdot x\ )^{\frac{1}{2}}$

Daraus: $H\left(x\right)=\frac{2}{3}(1+0,000019\cdot x)^{\frac{3}{2}}\cdot\frac{1}{0,000019}$