Spezielle Lösung eine DGL finden?

Hallo,

kann mir bitte jemand am unteren Beispiel (a)) sagen, wie man auf die Spezielle Lösung für DGLs erraten kann?

Ich habe echt keine Ahnung wie man da vorgehen muss, und mir hilft die Lösung nicht weiter(ich verstehe nicht mal was nun die Spezielle Lösung ist.
Vielen dank:)

Answer 1

[PhotonX]

Die spezielle Lösung ist y(x)=x. Es ist eine beliebige Lösung, die die DGL erfüllt. Wie man sie in diesem Fall hätte raten können, ist schwer zu beschreiben, wahrscheinlich ist es eine Sache der Erfahrung. Rückblickend ist natürlich klar, warum y(x)=x klappt, denn es hebt sich y² gegen x² weg und y' gegen die 1.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Masterabschluss Theoretische Physik

Comments

[JuleKo]

Danke!

Also setzt man für y in die Gleichung eine x ein und hat am ende y'=1 stehen.

Woher weiß man nun das y(x)=x die Lösung war?^^

[PhotonX]

@JuleKo

Nun, wenn y(x)=x ist, was ist denn dann y'(x)?

[JuleKo]

@PhotonX

Achso die 1. Danke:)

[DerRoll]

@JuleKo

Nebenbei wissen Physiker oft mehr über solche Themen als Mathematiker. Denen begegnen nämlich die DGLen im täglichen Leben deutlich öfter als den Mathematikern :-).

[fjf100]

@JuleKo

y=f(x)=x abgeleitet y´=f´(x)=1*x^(1-1)=1*x⁰=1 in die Dgl eingesetzt

1=x²+1-x²=1

1=1 ist wahr

flasch wäre 1=3 is Blödsinn

Answer 2

[DerRoll]

Ganz offen? Das muß man üben. Ich könnte es nach inzwischen etwa 30 Jahren nicht mehr. Ich weiß aber dass es damals funktioniert hat. Formelsammlung lesen, üben, üben, üben, mit Formelsammlung kontrollieren, üben, üben. Dann hat man einen Blick für die meisten typischen DGLen und kann mit 1-3 Funktionen testen.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dipl.Math.

Answer 3

[Littlethought]

Im obigen Fall hängt z(x) nur von A(x) = 1-x^2 ab. Dies ist ein Polynom. Es ist also zu vermuten, dass auch die spezielle Lösung z(x) ein Polynom ist.

Das einfachste Polynom z0(x) = a führt zu keiner Lösung.

Aber das Polynom z1(x) = a + b*x führt durch Koeffizientenvergleich zur Lösung.

Analog läßt sich auch Aufgabe b lösen.

Woher ich das weiß: Berufserfahrung – Lehrer u. Fachbetreuer für Mathematik und Physik i.R.

Answer 4

[CKH1981]

Du kannst Dir ja mal für gelegentliche, derartige Aufgabenstellungen Wolfram|Alpha zu Rate ziehen:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27+%3D+y%5E2+%2B+1+-+x%5E2

Über die "Step-by-step solution" kannst Du schummeln, und die einzelnen Schritte einsehen. Schummel nicht zu oft. Lieber zwischendrin 'ne Teepause einlegen :-)

Woher ich das weiß: Berufserfahrung