nicht-periodische Lösung einer DGL?
Hallo,
wie kann man für die DGL
x" + αx' + (1+α)²x = sin(t)
mit α ∈ ℝ zeigen, dass die DGL für jede Wahl von α mindestens eine nicht-periodische Lösung besitzt?
Für die Beantwortung meiner Frage bedanke ich mich im Voraus.
Sollte bei (1+α)² das Quadrat möglicherweise in der Klammer stehen?
Nein, das Quadrat steht außerhalb.
1 Antwort
Die allgemeine Lösung ist (siehe Wolfram|Alpha) im Bild zu sehen.
1. Fall: c2 ≠ 0
Da für jedes Alpha ein exp-Term auftaucht (der zweite exp-Term kann nicht konstant sein), ist eine Periode ausgeschlossen (die Exponentialfunktion ist periodisch).
2. Fall: c2 = 0
Jetzt darf Alpha nicht –1 sein, da sonst der erste exp-Term verschwindet und nur noch c1 bleibt. Es entstehen in den Nennernausdrücken der Divisionen bei Alpha = –1 die Zahlen –2 bzw. 2. Man erhält dann
c1 + 2 sin(t) / (–2) + sin(t) / 2 – cos(t) / (–2) = (cos(t) – sin(t)) / 2 + c1
In diesem Fall wäre die Lösung also periodisch. Z. B. wenn man das Anfangswertproblem mit x(0) = 1/2 und x'(0) = –1/2 betrachtet (Wolfram|Alpha).
