Wann benutzt man Variation der Konstanten und wann Separation der Variablen fürs Lösen einer DGL?
Soweit ich weiss benutzen wir Variation d. K. für eine inhomogene DGL und Separation für homogene DGL. (stimmt das)?
Nun habe ich zwei DGL:
(1) y'+2y -e^x = 0
&
(2) y' +ye^x = 0
Den Lösungen zufolge ist die erste Gleichung inhomogen da wir das -e^x auf die rechte Seite nehmen können und somit ungleich 0 wäre
Nun zu dem Teil den ich nicht verstehe: Warum ist (2) homogen? Denn wenn wir die Variablen separieren wäre es ja auch y'/y = e^x und somit auch ungleich 0? Müsste (2) somit nicht auch inhomogen sein?
1 Antwort
Homogen heisst, du hast links eine lineare Funktion von y und Ableitungen davon, rechts die Null. Das hast du nur bei (2), dort muss es dann heissen y'/y = -e^x. Da die Variablen separiert sind, kannst du auf beiden Seiten integrieren. Das kriegst du bei der (1) nicht hin, nur wenn du die homogene Version nimmst, y'+2y = 0.