Lösungen der DGL?

Hallo,

wenn die DGL x'=(x-sin(t))² + cos(t) eine Nullstelle t = pi hat, wie stellt man alle Lösungen dieser DGL fest?

Ich danke im Voraus.

Answer 1

[mihisu]

Hinweis: Ich würde zunächst einmal

$y(t)=x(t)-\sin(t)$

substituieren.

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Dann erhält man...

$x(t)=y(t)+\sin(t)$

$x'(t)=y'(t)+\cos(t)$

Einsetzen in die Differentialgleichung führt dann äquivalent zur Differentialgleichung...

$y'(t)+\cos(t)=\left(y(t)\right)^2+\cos(t)$

..., bei der man noch cos(t) wegsubtrahieren kann...

$y'(t)=\left(y(t)\right)^2$

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Löse nun diese einfachere Differentialgleichung. (Du kannst beispielsweise Trennung der Variablen verwenden.)

Mit den Lösungen y(t) kannst du dann zu x(t) rücksubstituieren, um die Lösungen x(t) zu erhalten.

Nutze dann die Bedingung x(π) = 0, um herauszufinden, welche der Lösungen diese zusätzliche Bedingung („Nullstelle bei t = π“) erfüllt.

====== Ergänzung: Lösung zum Vergleich ======

Die sin-Funktion ist die einzige Lösung, welche die geforderten Bedingungen erfüllt.

Im Folgenden habe ich übrigens mal die Lösungen der Differentialgleichung skizziert. Dabei habe ich die gesuchte Lösung, welche zusätzlich x(π) = 0 erfüllt, blau markiert.