Sinus als Potenzreihe periodisch beweisen?

Wie beweise ich, dass

x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7! ...

periodisch ist?

Comments

[mjutu]

Was nun? Konvergent oder periodisch? Ersteres trifft zu, zweiteres nicht.

[NetterGau]

Der ist nicht konvergent.., aber ich interessierte mich dafür, wie ich beweisen kann, dass der periodisch ist

Answer 1

[Mathmaninoff, UserMod Light]

Das ist hier erklärt. Man verwendet dafür die Additionstheoreme. Mit komplexen Zahlen ist es einfacher. Wie man diese direkt mit der Potenzreihe zeigt, wird hier erklärt.

Answer 2

[mjutu]

Siehe:

• https://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus

Offensichtlich ist die Reihe nicht periodisch - siehe Diagramme.

• https://de.wikipedia.org/wiki/Potenzreihe#Konvergenzradius

Der Konvergenzradius ist für Sinus und Cosinus unendlich - folglich konvergiert auch die Reihe.