Quotientenkriterium Beweis Frage?
Vielleicht ist die Überschrift verwirrend, ich verstehe den Beweis, man nehme die geometrische Reihe, setze diese als Majorante |a_k| <= q^k, wobei |q| < 1, et voilà
Daraus folgt das |a_k| absolut konvergent ist.
Was mich nun interessiert, folgt daraus auch, dass
Wenn man jetzt dieses q ignoriert und nur zeigt das ... < 1 gilt, dann wäre laut Quotientenkriterium auch die harmonische Reihe absolut konvergent => konvergent
Es muss ja irgendwie so sein, dass man über eine Zahl, die an 1 konvergiert, bzw. sich immer weiter von unten an diese annähert, keine Konvergenzaussage erhält. Wie zeigt man das?
1 Antwort
Wenn man jetzt dieses q ignoriert und nur zeigt das ... < 1 gilt, dann wäre laut Quotientenkriterium auch die harmonische Reihe absolut konvergent => konvergent
Das genau ist aber ein Fehler. Genau deshalb muß man ja dieses q < 1 angeben können. Etwas verfeinern kann man das mit dem
https://de.wikipedia.org/wiki/Kriterium_von_Raabe
Ansonsten gibt es auch Reihen, bei denen das Quotientenkriterium keine Aussage liefert und das stärkere Wurzelkriterium heran gezogen werden muß. Ein Beispiel dafür ist die Summe
Grenzprozesse analysieren zu können ist der erste Schritt auf dem Weg zum mathematischen Abstraktionsvermögen. Nur so versteht man zum Beispiel, dass es 0,9Periode nicht gibt, sondern dass das 1 ergibt. Und nur so kann man dem Verhungern entkommen wenn einem der Arzt wie üblich empfiehlt "Sie müssen weniger Essen, aber dafür öfter". Wer jetzt keine Ahnung von Grenzwerten hat macht den doppelten Grenzübergang und isst immer nichts. Also, üben, üben üben.
😂
Manche Konzepte, wie das Cauchy Kriterium, was direkt aus der Cauchy Konvergenz folgt, waren vom gedanklichen her dann doch schwieriger zu erfassen, allein die Vorstellung, für ein beliebig kleines Epsilon existiere ein N, sodass für alle n, m danach eine Teilsumme von der eigentlichen Reihe immer kleiner Epsilon sind, die natürlich auch sehr lange sein kann, wenn nicht sogar ,,unendlich lange", das hat mich schon beeindruckt und dass das bei der harmonischen Reihe nicht so ist.
Finde die ganze Beweisführung super spannend und es ergibt sich dann alles - auch wenn es manchmal kreavität bedarf, es braucht nur die richtigen Grundannahmen. Besonders wichtig ist, sämtliches nicht verstehen zwischen drin auszumerzen, weil einfach alles aufeinander aufbaut :D
Naja, mal schauen wie weit ich mit meiner Taktik komme. Das Studium beginnt ja erst im Oktober und Mathematik wird's wahrscheinlich nicht werden :D
Das Cauchy Kriterium ist tatsächlich sehr sehr komplex und je nach Zugang zu der Axiomatik der reellen Zahlen sehr speziell. Es ist nämlich tatsächlich äquivalent zum Supremumsaxiom und zum Axiom des Dedekindschen Schnitts. Alle drei erfüllen das Ziel, R zu "vervollständigen".
Cauchy selbst hat dies nicht erkannt, er fand sein Kriterium unmittelbar einsichtig und hat daher eben gerade nicht bewiesen dass jede Cauchyfolge konvergent ist, sondern lediglich dass jede konvergente Folge auch eine Cauchyfolge ist. Wenn er sich tatächlich an der Umkehrung versucht hätte wäre ihm die Lücke wohl aufgefallen. So mußten erst Weierstraß und Dedekind die Lücke schließen.
Naja, da muss ich nochmal schauen warum man genau von vervollständigen spricht. Ich habe zwar eine Konstruktion von R gesehen, indem man sagt, alle Cauchyfolgen sind in R (und damit dann irgendwie ja auch die Grenzwerte, was Lücken auffüllt), aber warum genau dann keine Lücken mehr zu finden sein sollen, keine Ahnung :D
Der Dedekindsche Schnitt ist genau über diese "Lücken" definiert, also so dass klar ist es kann keine Lücken mehr geben. Aber damit solltest du dich dann zu Studienbeginn beschäftigen. Diese Themen sollten in allen naturwissenschaftlichen Fächern in Höherer Mathematik irgendwann dran kommen.
Das wird sicherlich auch den Informatikern nicht vorbehalten werden, ich freue mich drauf :D
Nein oder? Aber natürlich. 😂
Ich komm immer noch nicht drauf klar, da gibt's ja gar nichts zu zeigen, das sieht man ja schon an der Aussage, es muss dieses q kleiner 1 geben. Mein Problem war mal wieder, klassisch, es gibt natürlich diese Zahl die kleiner als 1 ist, aber unendlich nah dran ist, super, natürlich nicht. Soll ja auch noch in der Unendlichkeit kleiner als <= q < 1 sein
Danke :D