Für welche x element R konvergiert die folgende Reihe, benötige Ansatz?
Diese Reihe ist gegeben. Ich soll das Quotientenkriterium benutzen, aber ich komme letztendlich auf
w = x * (1 / (1+ 1/n)). ich weiß nicht was ich machen soll weil mit dem kriterium sucht man eig eine Zahl die größer/kleiner/gleich 1 ist. was genau muss ich weiter machen?
2 Antworten
Für das Quotientenkriterium musst du berechnen:
Damit also der Quotient kleiner als 1 ist, muss x kleiner als eins sein.
w = x * (1 / (1+ 1/n))
Was ist der Limes von w für n → ∞? Was muss für diesen gelten damit die Reihe konvergiert?
Der Grenzfall lässt sich separat nachprüfen.
Nach den Grenzwertsätzen konvergieren die Quotienten gegen x. Bei einem Limes kleiner als 1 haben wir Konvergenz und bei größer als 1 haben wir Divergenz nach dem Quotientenkriterium.
Im Fall x = 1 haben wir die harmonische Reihe. Die divergiert bekanntermaßen.
Außerdem müssen auch noch negative x betrachtet werden. Nach dem Quotientenkriterium haben wir sogar absolute Konvergenz, wenn der Grenzwert der Beträge der Quotienten kleiner als 1 ist. Für x ≤ -1 gibt es noch das Leibniz- und Nullfolgenkriterium.
dann würde 1/n gegen 0 konvergieren, dann steht da 1/1 * x = w? oder x = w? aber was sagt mir das??