Polynomfunktionen Symmetrie?

Die Symmetrie erkennt man entweder an f(-x) Achsensymetrie bzw -f(-x) Punktsymmetrie

Mir geht's aber um das erkennen an der Funktion direkt : alle Exponenten sind gerade = Achsensymetrie ,alle ungerade = Punktsymmetrie.

muss ich aber dabei auch auf das Absolutglied achten z.b

x^4 +x^2 + 3: hoch 4 und 2 sind gerade kann ich mir die 3 dann sparen oder wäre das einfach hoch null . Dann wären auch alle gerade . Bei geraden ist es glaub ich kein Problem sobald die nicht in x verschoben sind sind sie symmetrisch zur Y Achse .

Bei ungeraden ist es doch anders

x^3+x^1+3 : das wäre nicht mehr Punktsymmetrisch . Wegen der Verschiebung in Y um 3 . Oder muss ich es so sehen : hoch 3 , hoch 1 ungerade und 3 wäre hoch 0 also wären ungerade und gerade Exponenten gemischt

Answer 1

[Halbrecht]

einfache Antwort :

Die Null ist auch eine gerade Zahl

ein konstantes Glied , meinetwegen 5 wie hier
x^4 + x^2 + 5*x^0 macht also alle Exponenten gerade

bei x^5 + x^3 + x +5x^0 kann kein P-sym vorliegen. Aber zum Ursprung . Deine Formel -f(-x) gilt nur für Psym zu (0/0)
Nach der Verschiebung ist diese Fkt nun Psym zu (0/5) !!!

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Answer 2

[PWolff]

Ja, auch die Exponenten, die üblicherweise nicht genannt werden, müssen hierbei berücksichtigt werden:

x^0 = 1

x^1 = x

(In diesem Zusammenhang ist es m. E. weit sinnvoller, 0^0 = 1 zu definieren, als hier eine Ausnahme mitzuschleppen, die jedesmal gesondert behandelt werden muss, z. B. als hebbare Definitionslücke)

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Übrigens nennt man achsensymmetrische Funktionen "gerade Funktionen" und punktsymmetrische Funktionen "ungerade Funktionen" - auch Funktionen, die keine Polynome sind.

Answer 3

[Rhenane]

Korrekt: hinter dem Absolutglied steht quasi x^0, also ein x mit geradem Exponenten, somit sind die ganzrationalen Funktionen, die nur aus x-Potenzen mit geradem Exponenten bestehen (mit oder ohne Absolutglied) achsensymmetrisch zur y-Achse.

Und somit macht das Absolutglied bei ansonsten ungeraden Exponenten die Punktsymmetrie zum Nullpunkt zunichte; stattdessen sind diese Funktionen punktsymmetrisch zum Punkt (0|Absolutglied).