Polynome=Funktionenalgebra?
Kann mir jemand erklären, was eine funktionenalgebra ist?
Grundsätzlicj ist meine Frage die, ich habe bewiesen, dass K[X] <=n ein Vektorraum ist, aber warum ist dies keine funktionenalgebra? Muss ich dies auch zeigen? Aber da müsst ich ja die Eigenschaften beweisen, was ja nicht ging, weil es keine ist, aber warum?
wieso reichen dir deine Suchergebnisse im Internet nicht ? Etwas spezieller Fragen , bitte.
Ich habe meine frage oben aktualisiert, das wurde vorhin nicht übernommen, sorry
2 Antworten
Hallo,
dass K[X] <=n ein Vektorraum ist, aber warum ist dies keine funktionenalgebra?
K[X] ist eine Polynomalgebra (siehe "assoziative Algebren")
K[X] ist ein Vektorraum, aber auch ein Ring und damit auch eine Algebra. (Man kann Polynome über K multiplizieren (das Ergebnis ist wieder ein Polynom), und die Polynommultiplikation ist mit der Operation von K auf K[X] vertrâglich. (K[X], +,•) ist eine (Polynom-)Agebra.
Eine Funktionenalgebra ist allgemeiner. Man erhält sie dadurch, dass man auf einer Menge M die K-wertigen Funktionen betrachtet und auf dem Funktionenraum
F := {f : M -> K | f Funktion}
eine punktweise Addition und Multiplikation:
(f+g)(m) := f(m)+g(m)
(f•g)(m) := f(m)•g(m)
definiert. Auf diese Weise erhält man eine Funktionenalgebra.
Nun kann man sich auf den Standpunkt stellen und K[X] als eine spezielle Funktionenalgebra ansehen, indem man als Menge M den Körper K wählt.
Jedes Polynom P ∈ P[X] definiert dann eine Abbildung (Funktion) von K nach K:
K[X] ∋ P : K -> K , durch k -> P(k) ∈ K
Diese speziellen Funktionen (= Polynome) kann man wieder addieren und multiplizieren und erhält so eine Unteralgebra des Funktionenraumes aller Funktionen von K nach K.
Gruß
Ein Funktionenraum ist ein Vektorraum, also da muss man die 8 Vektoraxiome zeigen oder?
Ja, ein Funktionenraum ist ein Vektorraum. Wenn man das zeigen will, muss man die Vektorraumaxiome zeigen.
und irgendwie versteh ich deinen unteren Teil nicht
Ja, der Teil ist etwas abstrakt.
also ist es eine spezielle funktionenalgebra bzw, eine unteralgebra, aber keine normale?
Es ist beides, je nachdem, welchen Standpunkt man einnimmt. Man kann K[X] als ("normale'") Polynomalgebra sehen, und man kann K[X] als eine Unteralgebra einer bestimmten Funktionenalgebra ansehen (sie hängt von der Menge M ab), wenn man das möchte. Dann muss man aber spezifizieren, wie das gemeint ist (man spezifiziert, welche Menge M man nimmt).
Wenn dir der 2. Teil meiner Erklärung nicht geheuer ist, begnüge dich mit dem 1. Teil, also K[X] = Polynomalgebra, das ist erstmal völlig ausreichend.
Danke einmal, ich komme mit den ganzen begriffen noch nicht so zurecht, weil letztes jahr hieß es immer vektorraum, aber jz funktionenraum usw.
So ganz versteh ichs trotzdem nicht, alle polynome<=n sind jz ein vektorraum, das hab ich gezeigt, und in meinen buch steh nun, dass es keine funktionenalgebra ist, aber die menge aller polynome schon. Kann man das nicht irgendwie so kurz erklären? Also wie du das mit spezifieren oben meinst?
oder is auch eine Begründung, dadurch das es eine polynomalgebra ist, ist meine oben genannte Menge keine funktionenalgebra?
Oh, die Gradbedingung habe ich nicht gesehen, sorry! Mein Fehler, ich habe unaufmerksam gelesen.
Sind mit K[X] alle Polynome vom Grad <= n gemeint, ist das tatsächlich nur ein Vektorraum und keine Algebra, denn wenn man zwei Polynome multipliziert, kann das Ergebnis des Produktes ein Polynom vom Grad > n sein, d.h. die Multiplikation führt aus der Menge der Polynome vom Grad <= n heraus.
Also mit der Gradbedingung <= n ist es nur ein Vektorraum.
Ahhhh super danke, jz ist es mir klar, auf das hätt ich selbst auch kommen können, aber danke das ist jz logisch:)
Oder ist es so, meine obige Angabe ist eine Polynomalgebra, da nach der Definition das Ass. für die Multiplikation gilt, somit ist sie auch ein Ring. Somit ist es auch eine Algebra, man kann daraus auch eine Funktionenalgebra machen, indem man die punktweise Addition und Multiplikation definiert (so wie du oben)?
Mein letzter Kommentar nochmal zusammengefasst:
K[X] = {alle Polynome in X vom Grad <= n} ist ein Vektorraum, aber keine Algebra.
K[X] = {alle Polynome in X von beliebigem Grad} ist Vektorraum und Algebra.
Auch dafür nochmal dankeschön, du hast mir wirklich enorm geholfen
Danke für die Antwort, da hätt ich jz noch fragen? Ein Funktionenraum ist ein Vektorraum, also da muss man die 8 Vektoraxiome zeigen oder?
und irgendwie versteh ich deinen unteren Teil nicht, also ist es eine spezielle funktionenalgebra bzw, eine unteralgebra, aber keine normale?