Beweis Basis eines Vektorräums mit Polynomen?

Hey Leute,

ich habe folgende Aufgabe:

Zeigen Sie: Fu ̈r jedes b ∈ R bilden die d + 1 Polynome

$1,\left(x-b\right),\left(x-b\right)^2,\ldots,\left(x-b\right)^d\in\mathbb{R}\left[x\right]\le d$

eine Basis zu IR[x]≤d

"Eigentlich" muss ich ja nur zeigen, dass

$\sum_{i=0}^da_i\left(x-b\right)^i=0$

Aber wie mach ich sowas?

Danke im voraus

Answer 1

[Willibergi]

Du musst zeigen, dass die Polynome den IR[x]≤d erzeugen und dass sie linear unabhängig sind. Weißt du bereits, dass der Vektorraum Dimension d + 1 hat, kannst du dir den Beweis des Erzeugendensystems sparen (der hier auch vermutlich ziemlich technisch sein wird) und musst nur lineare Unabhängigkeit zeigen (denn die Anzahl der Basiselemente ist eindeutig).

Das zeigst du, indem du die Implikation

$\sum_{i=0}^d\alpha_i\left(x-b\right)^i=0\Rightarrow\alpha_i=0\ \forall i=0,\ldots,d$

beweist (denn genau dann gibt es keine nicht-triviale Nullsumme). Wir sehen zunächst ein, dass aus der Prämisse sofort

$\alpha_0=0$

folgt, denn ist die Summe unabhängig von x gleich null, ist sie auch insbesondere im Fall x = b null. Wir können den Summanden also vernachlässigen und erhalten

$\sum_{i=1}^d\alpha_i\left(x-b\right)^i=0$

wo wir ein (x - b) ausklammern können

$\left(x-b\right)\sum_{i=1}^d\alpha_i\left(x-b\right)^{i-1}=0$

und dann mit demselben Argument wie vorhin (o.B.d.A. für x ≠ b, denn nur dann muss auch diese Summe wegen Nullteilerfreiheit von IR null sein)

$\alpha_1=0$

folgern. Induktiv ergibt sich dann die gewünschte Folgerung.

Answer 2

[iokii]

Als erstes zeigst du, dass a[d]=0 ist, indem du bemerkst, dass das der einzige Summand mit einem x^d ist. Dann gehst du induktiv zur 0.