Vektorraum der reellen Zahlen?

Ich soll für einige Vektorräume zeigen ob sie Untervektorräume vom Q-Vektorraum der reellen Zahlen (und natürlich ob sie Untervektorräume vom R-Vektorraum sind) sind. Nun frage ich mich, wie ich mir diesen Q-Vektorraum der reellen Zahlen vorstellen soll und wie ich damit beweisen kann, was ein Untervektorraum davon ist...

Answer 1

[Melvissimo]

Ich kann dir keine Anschauung von R als Q-Vektorraum geben, da ich selbst keine kenne. Es scheitert schon daran, dass man keine Q-Basis von R hinschreiben kann. Soweit ich weiß, wäre eine solche Basis auch überabzählbar.

Vorstellungstechnisch siehts also eher mager aus. Aber zum Glück brauchen wir in der Mathematik nicht immer eine Vorstellung, um Dinge beweisen zu können ;) Um zu zeigen, dass eine bestimmte Menge U ein Unterraum von R ist, rechnest du einfach die Unterraum-Axiome nach:

1. U ist nichtleer
2. Sind a und b Elemente in U, so auch deren Summe a + b
3. Ist a Element von U und q eine rationale Zahl, so ist auch qa ein Element von U.

Wenn du diese 3 Punkte gezeigt hast (bzw einen davon widerlegt hast), weißt du, dass U ein Unterraum ist (oder eben nicht).