Z ist kein Q-Vektorraum?

Wie zeige ich dass der Zahlenraum Z kein Q-Vektorraum ist?

Answer 1

[PhotonX]

Z ist nicht abgeschlossen unter Skalarmultiplikation: Wäre Z ein Q-Vektorraum, dann müsste +:ZxZ->Z und *:QxZ->Z abgeschlossen sein. Aber für 1/2 aus Q und 1 aus Z ist das Produkt 1/2*1=1/2 nicht in Z, damit kann Z kein Q-Vektorraum sein.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Masterabschluss Theoretische Physik

Answer 2

[michiwien22]

Ich kann als Nicht-Mathematiker nur eine Beweis-Skizze geben:

Wäre Z ein Q-Vektorraum dann müsste

$2_q\ \cdot\left(\left(\frac{1}{2}\right)_q\ \cdot1_z\right)\ =\ \left(2_q\ \cdot\left(\frac{1}{2}\right)_q\right)\ \cdot1_z\ =\ 1_q\cdot1_z\ =\ 1_z$

Hier ist naturgemäß

$\left(\frac{1}{2}\right)_q\cdot1_{z\ }\ :=\ a\ \in\mathbb{Z}$

und somit

$2_q\cdot\left(\left(\frac{1}{2}\right)_q\cdot1_z\right)\ =\ \left(\frac{1}{2}\right)_q\cdot1_{z\ }+\ \left(\frac{1}{2}\right)_q\cdot1_{z\ }\ =\ 1_z$

In Z gibt es aber kein a mit

$a\ +\ a\ =\ 1_z$

--> Widerspruch!

Ich weiß nun nicht, ob man es einfacher zeigen kann, das hier wäre halt ein Widerspruchsbeweis...

Wenn das Quatsch ist, bitte einfach ignorieren...