Beweise Skalarpodukt auf einem Vektorraum?

Man muss beweisen auf welchem Vektorrarum ein Skalarpodukt abgebildet wird:

Folgende Lösung und ich verstehe nicht warum f(t0) * f(t0) = 0 sein soll? Und was bringt überhaupt zu beweisen das es gleich null ist die postive definitiheit wird doch durch <f,f> > 0 bewiesen und nicht = 0.

Answer 1

[RitterToby08]

Also zu erst einmal gilt für ein Skalarprodukt <,> auf einem Vektorraum V:

$<v,v>=0\ \Leftrightarrow\ v=0$ Die Eigenschaft wird vermutlich auch mit Definitheitseigenschaft gemeint sein.

In deinem Fall ist aber f(x)=|x-t0| nicht die Nullfunktion, da für alle x ungleich t0 in [0,1] gilt: f(x)>0. Aber wir haben wegen f(t0)=|t0-t0|=0 :

$<f,f>=f\left(t_0\right)f\left(t_0\right)=0\cdot0=0$ Somit haben wir einen Vektor f gefunden, der nicht der Nullvektor (Nullfunktion) ist, aber für den <f,f> trotzdem 0 ist. Dies darf nach obigem nicht sein, falls <,> wirklich ein Skalarprodukt wäre.