Optimale Fläche einzäunen?
Ich habe in Mathe diese Aufgabe:
Goldgräber kann sich mit einem 100 m langen Seil ein rechteckiges Stück Land
abstecken. Dabei will er immer die größtmögliche Fläche erhalten.
1) Das Seil muss alle Seiten umschließen.
2) Eine Seite wird vom Fluss begrenzt
-> Ich verstehe generell nicht wie man am Anfang auf die Funktion kommt, die man braucht. Den Weg danach weiß ich aber.
Könnte mir da jemand helfen und den Lösungsweg für den Funktionsgleichung erklären?
Dankeschön im Voraus!
4 Antworten
Das Rechteck hat die beiden Seiten a und b, und die Fläche a*b.
Aufgabe 1)
Das dazu nötige Seil ist 2a + 2b = 100 Meter lang.
Somit gilt a = (100-2b)/2.
Eingesetzt in a*b
(100-2b)/2 * b = -b^2 + 50b
Die Funktion f(b) = -b^2 + 50b hat ein Maximum bei b=25. Daraus folgt a = 25.
Die Fläche beträgt 625 m^2.
Aufgabe 2)
Das dazu nötige Seil ist wegen der Flussbegrenzung 2a + b = 100 Meter lang.
Somit gilt a = (100-b)/2.
Eingesetzt in a*b
(100-b)/2 * b = -b^2/2 + 50b
Die Funktion f(b) = -b^2/2 + 50b hat ein Maximum bei b=50. Daraus folgt a = 25.
Die Fläche beträgt 1250 m^2.
Aus 2a + b = 100 folgt a = (100-b)/2
Meine Antwort bezieht sich auf die beschriebene Aufgabe. Die so abgesteckte Fläche beträgt 1250 m^2.
Ja genau, aber in der ersten Aufgabe gibt es keine Begrenzung durch einen Fluss. Da müssen alle Seiten mit einbezogen werden. Würde mein Vorschlag dafür passen?
Offensichtlich ergibt sich die Seillänge in dieser speziellen Aufgabe als Summe von drei Seiten eines Rechtecks, statt wie üblich deren vier. Man könnte zwei davon mit a bezeichnen und eine mit b.
Der Rest dürfte klar sein...
Danke, aber bei mir ist das Problem schon bei der ersten Aufgabe. Ich weiß einfach nicht wie die Funktionsgleichung aussehen soll.
Also es ist ganz einfach.
Wenn du ein Viereck hast hat das Vier Seiten. Also ein theoretisch 100/4 = 1 seite
Aber da eine Seite weg ist hast du drei Seiten 100/3 = 33,3 also
33,3*33,3 =1111,1 m²
Ohne viel zu rechnen, kann man sagen:
Optimal wäre ein Kreis, um aus dem Umfang, der zur Verfügung steht, möglichst viel Fläche rauszuholen.
Wenn rechteckig, dann das Rechteck, das dem Kreis am nächsten kommt. Und das ist ein Quadrat.
Also 100 m durch 4 teilen: Seitenlänge 25 m.
Dafür braucht man keine Formeln, sondern ein bisschen Menschenverstand.
Ja genau aber leider muss man in der Aufgabe mit einer Funktionsgleichung zum Ergebnis kommen : )
Dankeschön. Heiß das dann für die erste Aufgabe: a=(100-2b)/2
(100-2b)/2*2b = -2b/2 + 50*2b ?