Extremwertaufgabe, Teil 2?
Ich habe große Probleme bei einer Matheaufgabe und komme einfach nicht auf die Lösung. Vielleicht kann mir hier jemand weiterhelfen oder auf den richtigen Ansatz bringen.
Aus einem verbleibenden Blech soll ein Rechteck maximaler Fläche ausgeschnitten werden. Gesucht sind die Maße des Rechtecks. In einer vorgehenden Aufgabe musste eine Funktionsgleichung einer Parabel ermittelt werden, diese begrenzt das Rechteck und lautet: f(x)=0,375x^2-6x+30
Mein Lösungsansatz wäre nun f(x) als Nebengleichung in die Hauptgleichung A(x)=axb einzusetzen um x zu erhalten. Jedoch komme ich hier auf keine realistischen Ergebnisse...
Liebe Grüße
8 Antworten
Hallo,
Du mußt an die Aufgabe ganz anders herangehen, da das Stück Blech begrenzt ist.
Zunächst einmal stellst Du die Funktionsgleichung auf, am besten über die Scheitelpunktform, da der Scheitelpunkt (80|60) bekannt ist:
f(x)=a*(x-80)²+60
a berechnest Du, indem Du einen anderen bekannten Punkt der Funktion einsetzt, etwa (40|120).
a*(40-80)²+60=120
1600a=60
a=60/1600=3/80
Die Funktionsgleichung lautet daher f(x)=(3/80)*(x-80)²+60
Die kannst Du nicht einfach nach dem Motto: Rechteck=x*f(x) maximieren, weil die Funktion das Rechteck nur zwischen x=40 und x=80 begrenzt.
Für x>80 ist die Sache nicht berechenbar, weil das Blech da zu Ende ist und für x<40 ist die obere Grenze die Gerade y=120 und nicht f(x).
Du rechnest also erst einmal den Flächeninhalt an den Rändern aus.
Der ist entweder 40*120=4800 oder 80*60=4800.
Die Frage ist nun nur noch, ob das bereits das Maximum ist oder ob da noch mehr geht.
Du stellst also folgende Gleichung auf:
x*f(x)-4800=0
Da bekommst Du drei Nullstellen heraus: x=40 und x=80, was klar ist; aber auch x=3/80.
Mit x=3/80 bekämst Du natürlich nur dann einen Flächeninhalt von 4800 FE, wenn das Blech dort tatsächlich bis f(3/80) ginge, was nicht der Fall ist.
Die Fläche für ein Rechteck an dieser Stelle wäre 3/80 *120 - und das ist deutlich weniger als 4800.
Wenn es also irgendwo einen höheren Wert geben kann, dann nur zwischen x=40 und x=80.
Da die anderen Nullstellen für x*f(x)-4800 bei x=40 und x=80 liegen, ist nur noch interessant, ob die Werte dazwischen oberhalb oder unterhalb der x-Achse liegen.
Da es zwischen 40 und 80 keine Nullstelle gibt und die Funktion stetig ist, müssen alle Werte dazwischen entweder über der x-Achse liegen oder unter der x-Achse.
Es reicht also, irgendeinen Wert zwischen 40 und 80, wie etwa x=50 einzusetzen:
50*((3/80)*(50-80)²+60)-4800=-112,5.
Die Nullstellen liegen also über den Funktionswerten dazwischen, was wiederum bedeutet, daß Du nicht mehr als 4800 FE herausschneiden kannst.
Herzliche Grüße,
Willy
Natürlich kommst du auf kein vernünftiges Ergebnis, deine Parabelgleichung ist falsch.
Sie lautet nicht
f(x)=0,375x^2-6x+30
sondern
f(x)=0,0375x^2-6x+300
Das könnte man ganz einfach durch Einsetzen herausfinden...
Oder in dm statt cm oder ...
Jedenfalls hat man ein Problem, wenn man sie einfach so verwendet.
Hallo,
wenn DU einfach nur x*f(x) maximierst, kommst Du nie auf ein anständiges Ergebnis, weil die Fläche unterhalb des Scheitelpunktes unendlich groß ist.
Du mußt die Grenzen des Blechs berücksichtigen.
Am einfachsten ist es, x*(f(x)-60) zu maximieren und zum Ergebnis später das Rechteck x*60 zu addieren, um die Maße des Rechtecks zu bekommen.
Wenn Du nämlich 60 vom Funktionswert abziehst, ist es so, als läge der Scheitelpunkt auf der x-Achse.
Erst dann kannst Du vernünftige Werte bekommen.
Herzliche Grüße,
Willy
Allerdings mußt Du auch noch die obere Grenze des Blechs berücksichtigen.
Die Funktion der Fläche ist:
F=a*b;
a ist die Breite, b ist die dazugehörige Höhe.
b berechnet sich in abhängigkeit von a folgendermaßen:
b=a<40:120 | a>=40:120-f(?);
Was das Fragezeichen ist, weiß ich selbst nicht, da ich nicht verstehe, wie genau die parabell verschoben ist...
Wenn du dann die Funktion F für die Fläche hast, berechnest du die Maxima, für den Teil <40 und für den Teil >=40 separat...Das größere von beiden ist die Lösung...
Die parabellgleichung ist übrigens falsch, denn f(40)=390!=120...
Das war mein Problem...
Es gilt also für b>=40:f(a); Wenn du f richtig berechnest...
f(x)=a*(x-80)²+60;
120=a*(40-80)²+60;<-60
60=a*40²;|/40²
a=0,0375;
Du hast anscheinend nur eine 0 vergessen...
Ja das stimmt, da habe ich einen Abtippfehler gemacht... die Funktionsgleichung der Parabel lautet also f(x)=0,0375(x-80)^2+60 und die endgültige Gleichung f(x)=0,0375x^2-60x+300 ?
man muss halt in cm statt in mm rechnen...Sieht man ja anhand der Skizze. Dann stimmt die Gleichung auch.
An der Skizze sind keine Einheitsangaben zu finden, weshalb ich von Längeneinheiten ausgehe...
Wegen Bild ein neues Posting:
So sieht deine Kurve f(x)=0,375x^2-6x+30 aus, wenn du in cm rechnest. Das Blech ist dann 8x12 und nicht 80x120.
Das hat Verwirrung gestiftet ;-)
Nun suchst Du das Maximum der Funktion
g(x) = x*f(x)=0,375x³-6x²+30x
Dieses liegt bei x=4
Vielen Dank für deine Mühen, ich verstehe jedoch immer noch nicht wie du auf x=4 kommst... ich glaube ich habe eine ziemliche Denkblockade
Du leitest f(x) = 0,375x³-6x²+30x nach x ab und bekommst
f'(x) = 30 - 12 x + 1.125 x²
Die passende Nullstelle von f'(x) liegt bei x=4 (Minimum), die andere ist ein Maximum und daher irrelevent.
Also nochmal:
30 - 12 x + 1.125 x² = 0
Richtiger: Die passende Nullstelle von f'(x) liegt bei x=4 (Maximum), die andere ist ein Minimum und daher irrelevent.
Vielen Dank, ich hatte den Fehler immer in der Nullstellenberechnung von f‘(x) .... vielen Dank für die geduldige Hilfestellung !
es ist in cm, nicht in mm - dann stimmt sie ;-)