Matheaufgabe, Fläche,Umfang, etc.?
In der Aufgabe geht es um die "Entstehung" von Karthago. Eine Prinzessin hat eine Rinderhaut in Streifen geschnitten und diese zu einem Band gebunden. Die Aufgabe ist nun, dass das Rinderhautband 800m lang ist und dass sich die Prinzessen für einen rechteckigen Grundriss entschieden hat. Wie groß wird dann die umgrenzte, größtmögliche Fläche?
Ein paar Denkanstöße wären sehr hilfreich .
4 Antworten
Eigentlich ist das eine Aufgabe für die Differentialrechnung.
Nun weiß natürlich jeder, der sich damit beschäftigt hat, dass die optimale Lösung ein Quadrat ist. Umfang /4 = 200 m
Das ergibt eine Fläche von 200 * 200 = 40 000 m², obwohl die Karthager eher mit Fuß gerechnet haben dürften.
Meine Frage jetzt: war die Frage vom Lehrer ernstgemeint und kannst du ableiten?
Dann besteht die Gefahr, dass es mit einer Minimaxaufgabe ausgerechnet werden soll, also mit einer hundsgemeinen Extremwertermittlung.
An sich weiß man ja nicht, ob es nicht doch ein größeres Rechteck gibt ...
Ja die Frage war ernst gemeint. Ja ich kann ableiten.
Alte Floskel für "ganz gewöhnlich". Besser, als was da heute alles herumfliegt!
Gemein steht mehr für "allgemein" als für bösartig "gemein".
Dann geht das so, falls du es brauchst:
Nebenbedingung aus dem Umfang
2a + 2b = 80 | /2 und b isolieren
b = 40 - a
Hauptbedingung
A = a b
A = a (40 - a)
A = -a² + 40a
A'(a) = -2a + 40
Für ein Extremum muss sein: A' = 0
-2a + 40 = 0
-2a = -40 | /(-2)
a = 20
b = 20 aus Nebenbedingung
a = b ist offensichtlich ein Quadrat mit Seitenlänge 20.
Das ist es dann schon. Versuch es, mal nachzuvollziehen.
800/4 (weil 4 Seiten, die einfachste Anordnung) und dann Formel für Flächeninhalt eines Viereckes oder Quadrat a*b macht 200*200= 40 000 m² :)
Eigentlich ganz einfach:
Im Rechteck hast Du folgende Formeln
U(mfang) = 2a + 2b
F(läche) = a * b
Wenn Du davon ausgehst, dass der Umfang immer derselbe bleiben muss, weil ja die Länge des Bandes immer dieselbe ist, dann kannst Du folgendes daraus schließen:
a = (U-2b)/2 = (U/2) - b
Damit gilt: F = ((U/2) - b) * b = Ub/2 - b²
Jetzt kannst Du schon selbst sehen, dass wenn Du die Kante b immer kleiner werden lässt, ist b² immer noch größer als Ub/2, und damit merkst Du, dass bei gleichbleibendem Umfang die Fläche zwangsläufig kleiner wird, wenn Du eine Kante im Rechteck kürzer und die andere in demselben Maß länger machst. Dasselbe geschieht bei wachsendem b.
Wenn Du jetzt die erste Ableitung bildest, kannst du sogar ausrechnen, wann das Maximum der Fläche erreicht ist:
Die Ableitung von Ub/2 - b² ist U/2 - 2b
Somit gilt: U/2 - 2b = 0 => U/2 = 2b => U = 4b => die größtmögliche Fläche ist erreicht, wenn die Form ein Quadrat ist, denn für das Quadrat als Spezialfall des Rechtecks gilt: U = 4 * Seitenlänge.
Sagt dir quadratische Optimierung etwas? Ich müsste mich in das Thema auch erst wieder rein finden, aber damit solltest du es gut lösen können.
Wieso denn hundsgemein?