Mathe - Randkurvenprobleme
Hallo, ich möchte als Übung die folgende Aufgabe machen, verstehe es aber einfach nicht. -- Ein Fluss verläuft längs der x-Achse. Der Verlauf einer Straße wird beschrieben durch die Funktion f(x)= x * e^(2-x) (x liegt zwischen 0 und 2; 0 und 2 sind auch möglich) sowie eine quadratische Funktion g, die an f im Punkt P(2/2) ohne Knick anschließt und auf den Fluss im Punkt Q (6/0) trifft. Ermitteln Sie die Funktionsgleichung von g. Weisen Sie nach, dass F(x)= -(x+1) * e^(2-x) eine Stammfunktion von f ist. Wie groß ist die von Fluss und Straße eingeschlossene Fläche (LE: 1km)? -- Mein Hauptproblem ist, dass ich keine Ahnung habe, wie ich die Gleichung rausbekomme... (Da f und g im Punkt P aneinanderstoßen sollen (ohne Knick), muss ich ersteinmal die Steigung von f an dem Punkt P errechnen (also bei x=2)?
- Für den Nachweis der Stammfunktion muss ich doch einfach F ableiten und schauen, ob f rausskommt.(?) - Für die eingeschlossene Fläche integrieren.(?) --
Könnte mir bitte jemand (vor allem bei dem Aufstellung der Gleichung g) helfen.?? Danke :)
2 Antworten
quadratische funktion g ist g(x)=ax²+bx+c, drei unbekannte heisst du brauchst drei informationen die dir dann jeweils eine gleichung liefern. die drei infos kannst du dem test entnehmen eine ist etwas versteckt:
punkt p(2/2) heisst g(2)=2, selbes fuer punkt q: g(6)=0 so und die dritte versteckte info ist das mit dem "ohne knick". das heisst nur dass an der stelle x=2 die funktion f und g dieselbe steigung haben. also f(x) ableiten, steigung an der stelle berechnen und diesen wert fuer g'(2) einsetzen
das heißt a=die Steigung, die ich durch Einsetzen des x-Wertes in die 1.Ableitung von f(x) erhalte (?) Welchen Wert ( g(2) oder g(6) setze ich für b und welchen für c ein?
g(2) = 2 gibt die Gl. (1) 4a + 2b + c = 2 und g(6) = 0 gibt (2) 36a + 6b + c und (2) - (1) gibt 32a - 4b = -2 und daraus (4) b = - 8a - 0,5 Weiter : f '(2) = - 1 also muss auch g '(2) = - 1 sein. Es ist g '(x) = 2ax + b, daher (3) 4a + b = - 1. Aus (3) und (4) findest Du a und b, und mit (2) auch c.
(2) - (1) ist 32a + 4b = -2
nicht -4b, hast mir dennoch weitergeholfen ;)