Hilfe bei einer Matheaufgabe zur optimalen Fläche
Halli Hallo ..
ich habe eine Frage zu einer Aufgabe, die ich im Mathebuch gefunden habe und zwar lautet sie: Goldgräber Joe kann sich mit einem 100 m langen Seil ein rechteckiges Stück Land abstecken. Dabei ist er natürlich an einer möglichst großen Fläche interessiert.
Die Lösungen von a) und b) sind mir klar, aber c) verstehe ich nicht:
Eine Mauer von 20m Länge kann zur Abgrenzung mit benutzt werden.
(Dabei ist die Mauer nur ein Teil der einen Seite und nicht die ganze.)
Schon mal vielen Dank :)
4 Antworten
Ideal ist immer das Quadrat, wenn Rechtecke gefordert sind. 100 m Seil ergeben 25 m Seitenlänge.
Auch im Mauerfall (^^) ist das Quadrat ideal, nur dass die Begrenzungslinie halt 120 Meter lang ist. Jede Seite ist demnach 30 Meter lang, wobei drei nur aus Seil bestehen und eine aus 10 Metern Seil und 20 Metern Mauer.
Das Seil ist 100 Meter lang, aber je zwei einander gegenüberliegende Seiten sind gleich lang. Demnach müssen die Seiten a und b zusammen 50 Meter lang sein. b kannst du also durch (50-a) ausdrücken. Randbedingungen: a>0, b>0.
a * b ist zu maximieren, also auch a * (50-a).
Den Rest schaffst du :-)
U = 2(a+b) = 120 =>
a = 60 - b
A = a*b = b(60-b) = 60b - b²
A ' (b) = 60 - 2b = 0 =>
b=30
und mit a = 60 - b =>
a = 30
A = a*b = 900m²
Quadrat hat die größte Fläche aller Rechtecke.
Umfang = 120m =>
Seitenlänge = 120 / 4 = 30m
Fläche = 30m * 30m = 900m²
Der Umfang kann nicht 120m sein. Ich habe 100 Meter Zaun zur Verfügung, aber kann 20m abziehen wegen der Mauer. Wir haben bei a) und b) eine Formel aufgestellt, die erste Ableitung gemacht und dann nach 0 aufgelöst.
ah okay .. die 120 hab ich verstanden :D
Doch der Umfang ist 120m, er besteht aus 100m Zaun + 20 Mauer
Stimmt, man kann ja zunächst die Mauer mit 10m Seil auf 30m verlängern und dann den Rest vom Seil verlegen ... DH!
100 + 20 = 120 m ... und daraus kannst Du dann eine Fläche von 20x40m abgrenzen ...
Wo liegt das Problem ...?
warum 100 + 20 ?
ich hab 100m Zaun insgesagt für 4 Seiten zur Verfügung. Bei der einen Seite kann aber 20m Zaun abgezogen werden.
Bei a) und b) hatten wir so allgemeine Formeln mit Variablen.
Stimmt, man kann ja zunächst die Mauer mit 10m Seil auf 30m verlängern und dann den Rest vom Seil verlegen ... (siehe Aurel....) ...
danke :D ich habs verstanden :D
jetzt fehlt mir nur noch eine allgemeine Formel, um das Ergebnis zu überprüfen (ob die Seitenlängen wirklich zu der größten Fläche führen).
Die Gleichung kann ich dann ableiten und nach 0 auflösen.