Mit welcher Formel berechnet man die Summe aller zweierpotenzen von 0-100?
3 Antworten
Hallo,
die Formel lautet (2^n)-1. Die Summe aller Zweierpotenzen von 2^0 bis 2^100 ist also (2^100)-1. Die Klammern sind eigentlich überflüssig, weil Potenzrechnung ohnehin vor Strichrechnung geht. Ich habe sie nur gesetzt, damit Du nicht meinst, die 1 gehörte zum Exponenten.
Herzliche Grüße,
Willy
Vorbetrachtung:
Es ist 2^0 = 1, 2^1 = 2, 2² = 4, 2³ = 8 und 2^4 = 16.
Weiter ist
Summe(2^k,n=0...0) = 1 = 2^1 - 1,
Summe(2^k,n=0...1) = 3 = 2² - 1,
Summe(2^k,n=0...2) = 7 = 2³ - 1,
Summe(2^k,n=0...3) = 15 = 2^4 - 1 und
Summe(2^k,n=0...4) = 31 = 2^5 - 1
Vermutung: Summe(2^k,k=0...n) = 2^(n+1) - 1.
Behauptung: Für alle nichtnegativen ganzen Zahlen n gilt Summe(2^k,k=0...n) = 2^(n+1) - 1.
Beweis durch vollständige Induktion über alle nichtnegativen ganzen Zahlen n:
Induktionsanfang: Es ist 2^0 = 1 = 2^1-1 = 2^(0+1) - 1.
Induktionsvoraussetzung: Sei N eine beliebige, aber fest gewählte, natürliche Zahl, und für dieses N gelte Summe(2^k,k=0...N) = 2^(N+1) - 1.
Induktionsschluss: Es ist Summe(2^k,k=0...N+1) =
Summe(2^k,k=0...N) + 2^(N+1) =
2^(N+1) - 1 + 2^(N+1) = 2 * 2^(N+1) - 1 = 2^(N+1+1) - 1 = 2^(N+2) - 1.
q.e.d.
Furchtbar. Dass man Induktion für so viele Beweise gebraucht, ist alles andere als geschickt und gar nicht einleuchtend. Es ist wie ein Hammer, dem alle Probleme wie Nagel aussehen. Herr Gauß hatte bestimmt solchen Ansatz nicht verwendet. Hier zwei viel schnellere, direkte Wege, die sich auf die Natur der Folgenglieder berufen, und damit in dem Beweis Information enthalten:
Es sei a!=1 eine feste Zahl. Sei S(n) die Summe aus a^k für k=0 bis n–1.
ANSATZ 1 (VERSCHACHTELTE NATUR). Für alle n beobachtet man: S(n+1)=a^n+S(n) und S(n+1)=aS(n)+1. Daraus folgt S(n)=(a^n–1)/(a–1).
ANSATZ 2 (SPRACHLICHE NATUR/BETRACHTUNGSWEISE ALS CODE). Für a eine ganze Zahl >= 2, ist (a–1)S(n) eine ganze Zahl mit (zur Basis a) den Ziffern a–1 n-Mal. Die nächste Zahl nach dieser ist zur Basis a der Form 1 gefolgt durch n-Mal die 0. Dies in Wert gleich a^n. Damit wurde gezeigt, dass (a–1)S(n)+1=a^n. Daraus ergibt sich direkt die Formel oben.
(2^n+1) -1 = summe (2^0) Bis (2^n)
Sorry, wenn ich da pingelig bin... die Summe ist (2^101)-1
Sonst wäre sie ja geringer als der letzte Summand.