Mathe: Beweis für Summe der Zweierpotenzen und 1 als Differenz der nächsten Zweierpotenz?
Hallo,
Mir ist mal aufgefallen, dass alle Zweierpotenzen mit natürlichem Exponenten, begonnen bei Null, genau 1 kleiner sind als ihre nächste Zweierpotenz!
Als Formel:
2 ^ (0 + 1 + 2 + 3 + ... + n) + 1 = 2 ^ (n + 1)Gibt es einen Beweis dafür? Mir will keiner einfallen!
Mit freundlichen Grüßen,
KnorxThieus (m)
6 Antworten
Du meinst sicherlich
2^0 + 2^1 + 2^2 +... + 2^n + 1 = 2 ^ (n + 1)
und ja, das stimmt und lässt sich relativ leicht mit vollständiger Induktion beweisen.
Hallo,
Vielen Dank erstmal für deine Antwort!
Ja, ich meinte natürlich 2^0 + 2^1 + 2^2 +... + 2^n + 1 = 2 ^ (n + 1) !
Allerdings bin ich erst in der neunten Klasse und kenne Induktion überhaupt nicht.
Aber der "Pünktchenbeweis" überzeugt mich, Danke! :-)
Mit freundlichen Grüßen,
KnorxThieus (m)
Offensichtlich war ja
2^0 + 2^1 + 2^2 +... + 2^n + 1 = 2 ^ (n + 1)
Es gibt noch einen etwas anderen Blickwinkel. Ich machs für das Beispiel n=3, wie es allgemein geht, sieht man dann sofort.
Also, statt die Summe 2^0+2^1+2^2+2^3 als Dezimalzahl hinzuschreiben, können wir sie auch als Binärzahl (Dualzahl) hinschreiben. Da muss man dann gar nichts rechnen, denn 2^0+2^1+2^2+2^3 entspricht ja schon der Definition einer Dualzahl. Es ist einfach:
1111
Wenn man im Dualsystem zu 1111 eine 1 hinzuaddiert, erhält man natürlich 10000. Das verhält sich genauso wie die Rechnungen a la 999999+1=1000000 im Dezimalsystem.
Auch ein schöner Ansatz, bloß nicht so "formelig"! ;-)
Das ist ja auch falsch. Richtig ist
2 ^ (0 + 1 + 2 + ... + n) = 2 ^ (n * (n+1) - 1)
FataMorgana hatte schon recht:
2^0 + 2^1 + 2^2 +... + 2^n + 1 = 2 ^ (n + 1)meinte ich.
"Genau 1 kleiner als ihre nächste 2er-Potenz" ist absolut falsch, da die Potenzfolge immer das Doppelte der vorhergehenden ist.
Schau noch mal genau auf deine falsche Formulierung (Aussage)!
Ich meinte:
2^0 + 2^1 + 2^2 +... + 2^n + 1 = 2 ^ (n + 1)Die Summe aller Zweierpotenzen mit natürlichem Exponenten, begonnen bei Null, hat die genaue Differenz 1 zur nachfolgenden Zweierpotenz....
Entweder ich habe dein System nicht geblickt oder es stimmt nicht.
2^0+1=2^1 //stimmt
2^(0+1)+1=2^2 //da stimmt es bei mir schon nicht mehr.Kann ja eigentlich auch nicht, da alle 2er-Potenzen gerade sind (außer 0) und du 1 addierst.
Wenn du auch mit einem Pünktchenbeweis zufrieden bist:
2^(n+1) = 2^n * 2
= 2^n + 2^n
= 2^n + 2 * 2^(n-1)
= 2^n + 2^(n-1) + 2^(n-1)
= 2^n + 2^(n-1) + 2 * 2^(n-2)
....
= 2^n + 2^(n-1) + 2^(n-2) + ... + 2 * 2^0
= 2^n + 2^(n-1) + 2^(n-2) + ... + 2^0 + 1