wie berechnet man die summe der elemente einer menge?
wie berechnet man die summe der elemente einer menge?
z.b. 35+40+45+........+875
schon mal danke im voraus
Liebe/r coolstrider,
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Fred vom gutefrage.net-Support
3 Antworten
Indem man versucht, die Summe auf eine bekannte Summe zurückzuführen.
Vorliegend kann man die Summe auf die Gaußsche Summenformel zurückführen und zwar so: Schaut man genau hin, dann kann man vermuten, dass sich das n-te Glied der Folge, nämlich a ( n ), so darstellen lässt.
a ( n ) = 35 + ( n - 1 ) * 5
Wenn dem so ist, dann müsste gelten:
a ( 1 ) = 35 + 0 * 5 = 35
a ( 2 ) = 35 + 1 * 5 = 40
a ( 3 ) = 35 + 2 * 5 = 45
usw...
Die Vermutung scheint also zu stimmen. Dann aber kann man die Bildungsvorschrift für a ( n ) auch umformen, nämlich so:
a ( n ) = 35 + ( n - 1 ) * 5
= 35 + 5 n - 5
= 30 + 5 n
(Das hätte man auch sofort vermuten können)
.
Die Summe über alle Folgeglieder von 35 bis 875 ist also gleich der
Summe [ k = 1 ... n ] über a ( k )
= Summe [ k = 1 ... n ] über ( 30 + 5 k )
= Summe [ k = 1 ... n ] über 30 + Summe [ k = 1 ... n ] über 5 k
= 30 * n + 5 * Summe [ k = 1 ... n ] über k
. Die
Summe [ k = 1 ... n ] über k
aber ist als die Gaußsche Summenformel bekannt. Ihr Wert ist:
Summe [ k = 1 ... n ] über k = n * ( n + 1 ) / 2
.
Somit gilt insgesamt:
Summe [k = 1 ... n ] über a ( k )
= 30 * n + 5 * n * ( n + 1 ) / 2
= 5 * 6 * n + 5 * n ( n + 1 ) / 2
= 5 * n * ( 6 + ( n + 1 ) / 2 )
= 5 * n * ( 12 + n + 1 ) / 2
= 5 * n * ( 13 + n ) / 2
Diese Formel gibt also die Summe der ersten n Folgeglieder beginnend mit a (1 ) = 35 an.
.
Nun muss man nur noch den Wert von n für die konkrete Folge bestimmen, also herausfinden, das wievielte Folgeglied die 875 ist.
Dazu nimmt man die Formel für das n-te Folgeglied her:
a ( n ) = 30 + 5 n
(siehe oben)
und formt nach n um:
n = ( a ( n ) - 30 ) / 5
Hier setzt man nun für a ( n ) den Wert 875 ein und erhält:
n = ( 875 - 30 ) / 5 = 169
875 ist also das 169ste Folgeglied, daher muss man in der oben berechneten Formel für die Summe der Folgeglieder n = 169 setzen und erhält:
Summe = 5 * n * ( 13 + n ) / 2
= 5 * 169 * 182 / 2
= 5 * 169 * 91
= 76895
Ich habe FAST keine Ahnung, aber müsste das nicht ähnlich wie bei der Gaußschen Summe gehen, also:
35 + 875 = 910
40 + 870 = 910
45 + 865 = 910
usw.
und dann halt mit die Hälfte der Elemente der Folge mit 910 multiplizieren?!
Freut mich.
Da sieht man mal wieder, dass man auch Mathe manchmal "dem Gefühl" nach machen kann.
Aber leider nicht immer (;o|
(:o)
du bastelst daraus eine folge
Hmm - die wenige Ahnung, die du hast, genügt offenbar, um eine viel einfachere Lösung zu finden als ich. Komme mir vor, wie damals der alte Lehrer vom kleinen Gauß ... :-)
.
Da 875 das 169ste Glied der Folge ist, müsste die gesuchte Summe also
169 / 2 * 910 = 76895
sein, und das stimmt mit meinem Ergebnis überein!
DH!!!