Wie berechnet man folgende Summe?
4 Antworten
Wenn unter dem Summenzeichen k = 1 steht und oben nur n, dann heißt das natürlich
k läuft von 1 bis n.
Da ist keine 1 zugewiesen, sondern alle natürlichen Zahlen von k=1
bis k=n.
Schau mal hier:
https://www.arndt-bruenner.de/mathe/Allgemein/summenformel1.htm
https://de.wikibooks.org/wiki/Formelsammlung_Mathematik:_Endliche_Reihen
Wie iqKleinerDrache schon sagte, kannst Du die Aufgabe in zwei Teile zerlegen: Die Summe über die k-Quadrate und die Summe über die 7 k. Jede der beiden kannst Du für sich berechnen und dann die Ergebnisse addieren.
na in 2 Teile aufspalten. Für die einzelnen Teile gibts Formeln (Formelsammlung).
also Summe der Quadratzahlen + 7 mal Summe der Zahlen von 1 bis n.
für die Summe der Zahlen weiss ich es auswendig:
Summe 1+...+n = n * (n + 1) / 2
Summe = Summe1 + 7 * Summe2
Summe1 "Quadratzahlen" = n*(n+1)*(2*n+1)/6
Summe2 "Ganzzahlen" = n*(n+1)/2
Summe = (n*(n+1)*(2*n+1)/6 ) + 7 * (n * (n+1) /2 )
nun ausmultiplizieren ... mach mal selber :-)
Dann wird die Aufgabe zu schwer, wenn man das auch noch machen müsste. Einfach Formelsammlung :-)
Die Herleitung ist nicht ganz einfach, aber äußerst lehrreich.
Wahlweise intuitiv erkennen, daß die Summenformel eine ganzrationale Funktion dritten Grades ist, über die ersten vier Glieder der Reihe nach einem geeigneten Verfahren diese Funktion bestimmen und über die vollständige Induktion beweisen.
Zur Kontrolle: Die Summenformel lautet s(n)=(1/3)n³+5n²+(38/3)n+8.
Das ist schon richtig, aber k ist doch schon als 1 definiert, da k=1. Sollte es dann nicht sehr einfach sein?
nein das bedeutet Laufvariable. Analog im Computer: For k = 1 to n
Ich bin zwar schon sehr viele Jahre raus aus der Schule, aber wenn in der Klammer k²+7k steht und k=1 ist, braucht man doch nur jedes k durch eine jeweilige 1 ersetzen und entsprechend umrechnen 1²=1 7*1=7 und daher 1+7=8. Wie erwähnt bin ich eine Weile raus aus der Schule, aber wenn ich das so direkt sehe, sieht es für mich so aus, auch wenn es vielleicht falsch ist. Aber wenn es falsch ist, ist die Schreibweise irreführend, denn wie schon in der Frage steht, handelt es sich ja um eine Summe, und die erhält man durch Addition, also wie bei 1+7=8.
In der Schule habt Ihr wahrscheinlich nicht gelernt, mit Summenzeichen umzugehen.
Die Summe aller Quadratzahlen von 1 bis n ist (1/3)n³+(1/2)n²+(1/6)n.
Kann man zum Beispiel herleiten, indem man eine quadratische Pyramide aus Würfeln baut und vom Volumen der Pyramide die Teile abzieht, die diese Würfel zur Pyramide ergänzen.