Maximale Steigung? (Ganzrationale Funktionen)
Hallo allerseits.
Ich schreibe morgen eine Mathe-Klausur und ich habe eine Frage:
Ich habe 2 Funktionen, nämlich f und g. f ist eine kubische Funktion (Funktion dritten Grades) und g ist eine quadratische Parabel.
Die Funktionsgleichung hab ich in Aufgabe a) bereits berechnet, jetzt soll ich herausfinden, wann die Funktionen jeweils am "steilsten" sind. (f ist in diesem Abschnitt konstant fallend und g konstant steigend)
Kann mir jemand erklären, wie ich das machen soll? Danke schonmal :)
4 Antworten
Ich nehme an, dass du mit "konstant fallend (bzw. steigend)" meinst: "streng monoton fallend (bzw. steigend)". Der zu untersuchende "Abschnitt" wird wohl ein Intervall I = [x0, x1] sein.
Da f kubisch ist, ist f' ist eine Parabel, f'' eine lineare Funktion, f''' eine konstante Funktion.
Da f in I streng monoton fällt, ist f' in I überall negativ.
. . .
Fall 1: f' ist nach oben geöffnet, und der Scheitel (d | e) von f' liegt in I. Dafür ist hinreichend, dass f'' eine Nullstelle x = d in I hat, und f''' > 0 ist.
Dann ist f bei x = d am steilsten.
. . .
Fall 2.1 : f' ist nach oben geöffnet, und der Scheitel (d | e) von f' liegt nicht in I. Dafür ist hinreichend, dass f''' keine Nullstelle in I hat, und f''' > 0 ist.
Fall 2.2 : f' ist nach unten geöffnet. Dafür ist hinreichend, dass f''' < 0 ist.
Dann ist f bei x0 am steilsten, wenn f'(x0) < f'(x1), sonst bei x1.
(Wenn ich die Voraussetzung richtig verstehe, gibt es keine zwei gleich steile steilste Stellen in I, also f'(x0) ≠ f'(x1) Sonst besteht in Fall 2.2 auch die Möglichkeit, dass x0 und x1 eine steilste Stelle sind.)
Da g quadratisch ist, ist g' eine lineare Funktion, g'' eine konstante Funktion.
Da g in I streng monoton steigt, ist g' in I überall positiv.
. . .
Fall 1: g' steigt. Dafür ist hinreichend, dass g'' > 0 ist.
Dann ist g bei x = x1 am steilsten.
. . .
Fall 2: g' fällt. Dafür ist hinreichend, dass g'' < 0 ist.
Dann ist g bei x = x0 am steilsten.
Da musst Du noch aufpassen, weil die zweite Ableitung natürlich ausserdem auch dort null ist, wo die originale Funktion am stärksten abfällt. Deshalb musst Du prüfen, was genau verlangt wird, und dann schauen, welcher Punkt wirklich interessiert.
Anders formuliert könnte man auch sagen: Suche die Maxima und Minima (Scheitelpunkte) der ersten Ableitung. Diese berechnet man in dem man die zweite Ableitung herleitet, den enstehenden Term gleich null setzt und dann nach X auflöst.
Das ist dort, wo die zweite Ableitung einer Funktion gleich null ist. Also sozusagen die Steigung der Steigung ist gleich null an dieser Stelle. Man spricht auch von Krümmung.