Mathe. Ungleichungen mit 2 Beträge?
Ich hatte diese diese Aufgabe auf bekommen:
|x-2|+1/x+|x+2|>0
Als lösung von TR kam raus x< -(1/4) und x>0 .
Ich verstehe allerdings nicht warum bzw. wie da -(1/4) rauskommt, kann wer helfen bzw. mir den rechenweg dazu erklären?
Du hast doch schon eine ausfühliche Antwort mit der Lösung?
Ich will aber wissen wie die lösung zu Stande kam!
Da steht doch alles da...
?!
2 Antworten
Hallo,
Betrag bedeutet Fallunterscheidung.
Für x>2 bleiben die Terme in den Betragsstrichen positiv, so daß die Striche ersatzlos wegfallen können.
Für x>2 sieht die Ungleichung folglich so aus:
x-2+1/x+x+2>0.
Zusammenfassen: 2x+1/x>0.
Dies trifft für alle x>2 zu. Zumindest für x>2 ist die Ungleichung schon einmal wahr.
Für den Bereich -2<x<2 wird der Term in der ersten Klammer negativ, während der in der zweiten Klammer positiv bleibt. Die zweite Klammer kann also entfallen, bei der ersten Klammer muß man die Differenz umdrehen, wenn man die Betragsstriche wegläßt.
Für den Bereich -2<x<2 bekommst Du daher folgende Ungleichung:
2-x+1/x+x+2>0.
Da sich -x und +x aufheben, wird das zu
4+1/x>0, also 1/x>-4. Das stimmt auf jeden Fall für alle x>0, so daß wir die Lösungsmenge auf x>0 statt auf x>2 erweitern können.
x=0 scheidet aus, weil 1/0 nicht definiert ist.
Wie sieht es mit -2<x<0 aus?
1/x>-4 wird zu 1<-4x (das Ungleichheitszeichen kehrt sich um, weil mit einem negativen x multipliziert wurde. Weiter: x<-1/4.
Nun bleibt noch der Bereich x<=-2 zu betrachten.
Die Ungleichung wird dann ohne Betragsstriche zu 2-x+1/x+2+x>0, also 4+1/x>0.
1/x>-4; 1<-4x (wieder muß das Ungleichheitszeichen umgedreht werden, da x negativ ist.
Für negative x kleiner gleich -2 ist -4x mindestens 8 und 1 ist sicher kleiner als 8 und erst recht kleiner als jede Zahl größer 8.
Somit ist die Ungleichung auch für alle x<=-2 erfüllt.
Der einzige Bereich von x, für den die Aussage nicht stimmt, ist somit
-1/4<x<0, für alle anderen x stimmt die Ungleichung, bekommt man also positive Werte heraus.
Herzliche Grüße,
Willy
Sieht nach Fallunterscheidung mit 4 Fällen aus... Oder?
Das weiß ich halt selber nicht genau, ich glaube aber schon