weiso kommt diese lösung bei statistik/wahrscheinlichkeitsrechnung raus?
Beim Tischtennismatch zwischen Paula und Tom steht es 10:10 und es gewinnt, wer zuerst 2 Punkte Vorsprung hat. Die Wahrscheinlichkeit für Paula einen Punkt bei einem beliebigen Ballwechsel zu erzielen betrage p und entsprechend für Tom 1 − p unabhängig vom bisherigen Spielverlauf.
es geht mir hierbei um die nummer c und d:
1 Antwort
Da sich mit jedem Ballwechsel die Summe der Punkte um eins erhöht und bei einem Gleichstand die Summe der Punkte gerade ist, kann nur nach einer geraden Anzahl von Ballwechseln ein Gleichstand vorliegen. Umgekehrt wenn dann kein Gleichstand vorliegt, muss es eine Differenz von zwei geben, sodass dann das Spiel beendet ist. Ein Spieler kann ebenfalls nur nach einer geraden Anzahl von Ballwechseln gewinnen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass Paula gewinnt, ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie nach zwei Ballwechseln gewinnt, plus der Wahrscheinlichkeit, dass sie nach vier Ballwechseln gewinnt, plus der Wahrscheinlichkeit, dass sie nach sechs Ballwechseln gewinnt, usw. Das heißt, dass es dazwischen null mal, einmal bzw zwei mal usw zu einem Gleichstand gekommen ist.
Die Wahrscheinlichkeit, dass Paula direkt gewinnt, beträgt p², da sie zwei mal hintereinander einen Punkt machen muss.
Hier eine Darstellung, wobei 1 dafür steht, dass Paula in der Runde einen Punkt macht und 0 dafür dass Tom in der Runde einen Punkt macht. In dem Fall muss Paula zwei Punkte hintereinander machen.
1 1
Die Wahrscheinlichkeit, dass sie nach einem Gleichstand gewinnt beträgt 2p(1-p)p². Hier gibt es zwei Möglichkeiten um zum ersten Gleichstand zu kommen und wieder muss Paula danach zwei Punkte machen. Die 1 tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von p ein und die 0 mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 - p.
1 0 1 1
0 1 1 1
Gewinn nach zwei Gleichständen (2p(1-p))²p². Es gibt jeweils zwei Möglichkeiten, um von einem Gleichstand zum nächsten zu kommen. Entweder Paula macht zuerst einen Punkt oder Tom macht zuerst einen Punkt und dann jeweils die andere Person. Die Anzahl der Einsen und Nullen in jedem Pfad ist bei einem Gleichstand gleich.
1 0 1 0 1 1
1 0 0 1 1 1
0 1 1 0 1 1
0 1 0 1 1 1
Das wird dann ins Unendliche fortgeführt. Dabei beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn durch Paula nach k weiteren Gleichständen (2p(1-p))ᵏp². Man hat also k Binomialexperimente hintereinander, wo von zwei Versuchen einer davon ein Erfolg sein muss. Und zum Schluss braucht man nach einem Gleichstand zwei weitere Erfolge.
Da das Ereignis, dass Paula gewinnt, die disjunkte Vereinigung von den Ereignissen, dass sie nach k Unentschieden mit k = 0, 1, 2, ... gewinnt, ist, berechnet man die Gesamtwahrscheinlichkeit als Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten, was eine geometrische Reihe ∑(2p(1-p))ᵏp² ergibt. Das p² kann man vor die Summe bringen, da es nicht von k abhängt. Dann wird die Formel für die geometrische Reihe ∑xᵏ = 1/(1 - x) angewandt und man bekommt das Ergebnis.
In der letzten Teilaufgabe ist das Ereignis, dass Tom gewinnt, das Gegenereignis zu dem, welches in der vorherigen Teilaufgabe berechnet wurde. Man muss dann nur noch die konkrete Zahl für p einsetzen