Woher erkenne ich die Fragestellung bei linearen Gleichungssystemen?
Woher erkenne ich wann welcher Punkt bei welchen linearen Gleichungssystem zutrifft? Gibt es Merkmale auf die ich achten kann?
A) Das lineare Gleichungssystem ist lösbar.
B) Das lineare Gleichungssystem hat genau eine Lösung.
C) Das lineare Gleichungssystem hat keine Lösung.
D) Das lineare Gleichungssystem ist homogen.
E) Das lineare Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen.
Bsp: Welche Aussagen sind wahr; welche sind falsch?
Wie erkenne ich es bspw. an diesem linearen Gleichungssystem?
Ich danke euch für die Antworten im voraus.
3 Antworten
Das wichtigste um all diese Fragen beantworten zu können ist: Wie viel unabhängige Gleichungen habe ich? Wie viel Variablen habe ich? (Wobei unabhängig hier heißt, dass keine Gleichung sich als Summe von Vielfachen anderer Gleichungen darstellen lässt...quasi keine neue Erkenntnis liefert, da sie in anderen Gleichungen inkludiert ist)
a) gilt, wenn gilt: Es gibt weniger oder gleich viele Variablen wie unabhängige Gleichungen
b): Es gibt exakt so viele unabhängige Gleichungen wie Variablen
c) Es gibt mehr Gleichungen wie Variablen
d) Die Rechte, nicht Variablenabhängige, Seite ist in jeder Gleichung 0
e) Es gibt mehr Variablen wie Gleichungen
Bei inhomogenen LGS ist es außerdem für die Lösbarkeit wichtig, dass keine widersprüchlichen Aussagen entstehen, wenn du Gleichungen multipliziertst und miteinander addierst! (Wie in deinem Beispiel, wenn man Gleichung 1 und 2 addiert und sie mit Gleichung 3 vergleicht)
Das liegt daran, dass wir ein inhomogenes LGS betrachten und auf deinen Fall mein letzter Absatz bezüglich inhomogener LGS zutrifft...es lässt sich eine widersprüchliche Aussage formulieren, woraus die nicht Lösbarkeit folgt
Addiere die Zeilen 1 und 2. Dann erhältst du links 3x + 5y + 7z und rechts 13. In Zeile 3 steht links ebenfalls 3x + 5y + 7z aber rechts steht 12. Die Summen können nicht gleichzeitig 12 und 13 sein.
Also A falsch, B falsch, C wahr und E falsch.
Da die rechte Seite nicht überall 0 ist, ist auch D falsch.
klassisch Mathematik : den Rang der Matrix bestimmen
I * mal -2 zu II
I * mal -3 zu III
ergibt
0 -1 -2 -11..........IIa
0 -1 -2 -12 ...........IIIa
.
IIa mal -1 zu IIIa
ergibt
0 0 0 -1
.
letzte Zeile sagt : keine Lösung . siehe dazu hier
Danke für die ausführliche Antwort als erstes.
Weshalb trifft aber in meinem Bsp oben nicht a oder b zu, da es doch genau so viele Variablen wie Gleichung gibt?
a und b sind aber falsch?