Wie geh ich hier vor?
Die Abbildung zeigt den Graphen G der in R=\{0} definierten Funktion f mit f(x)=4/x^2. G ist symmetrisch bezüglich der y-Achse.
a) Die Gerade, die parallel zur x-Achse durch den Punkt P(0|p) verläuft, schneidet G in zwei Punkten. Der Abstand dieser beiden Schnittpunkte ist 1.
Berechnen Sie den Wert von p.
da ist p bei mir (0|16) aber jetzt brauche ich hilfe bei der b)
b) Die Koordinatenachsen schließen mit der Tangente an G in einem Punkt Q(u|f(u)) mit u>0 ein gleichschenkliges Dreieck ein. Berechne die Koordinaten von Q.
2 Antworten
Anderer Ansatz als in der anderen Antwort:
Damit das Dreieck gleichschenklig ist, müssen die Schenkel xs und ys gleich sein, die Steigung also -1.
f'(x) = -1 liefert x = 2.
Am besten dazu eine kleine Skizze machen, damit man in etwa erkennt, was da gewollt ist...
Die allgemeine Tangentengleichung an der Stelle x=u lautet:
t(x)=f'(u) * (x-u) + f(u)
alles einsetzen ergibt: t(x) = -8/u³ * (x-u) + 4/u²
= -8/u³ * x + 8/u² + 4/u² = -8/u³ * x + 12/u²
Damit nun das beschriebene gleichschenkliges Dreieck entsteht, muss die Nullstelle der Tangente t bei x=12/u² sein (dann ist der Schenkel auf der x-Achse genauso groß wie der Schenkel auf der y-Achse, nämlich 12/u²), also:
t(12/u²)=0 <=> -8/u³ * 12/u² + 12/u² = 0
<=> -96/u^5 + 12/u² =0 |* u^5 |* u²
-96u²+12u^5=0
12u²(-8+u³)=0 |u>0, daher kann man einfach durch 16u² teilen
-8+u³=0 |+8
u³=8 |3.Wurzel
u=2
d. h., wenn u=2 gewählt wird, erhältst Du ein gleichschenkliges Dreieck (Länge 3 Einheiten) deren dritte Seite den Punkt Q(2|f(2)) des Graphen zu f berührt.
manchmal verbohrt man sich so in einen Ansatz, dass man das Offensichtliche nicht mehr erkennt... :)