Mathe extrem und wendestellen Grafik?
Hallo ! Ich kann sowas sehr gut schriftlich ausrechnen aber irgendwie bin ich bei so Grafik Aufgaben komplett raus ? Hier z.b die Aufgaben an denen ich grad verzweifle:
Kann jemand erkennen wo genau ich denn da stecken bleibe und es mir evtl erklären??
Z.B Check ich nicht wie ich herausfinden soll was mit dem Graphen f ist wenn nur Graph f’ und f’’ gegeben sind ?
? Und wie sollte ich dann wissen wo genau die extrem stellen sind oder sogar anhand einer Funktion erkennen ob es hochpunkte etc. hat ??
2 Antworten
zur oberen Aufgabe: Dort wo f(x) einen Extremwert hat, muss f(x)' = 0 sein. Dort wo rot einen Hochpunkt hat, hat blau keine Nulllstelle, aber umgekehrt: Wo blau einen Tiefpunkt hat, hat rot eine Nullstelle. Das ist hier wohl die einfachste Methodik, es gibt noch andere. Damit ist auch b beantwortet. Wegen c kann man sich an f(x) = k*x² orientieren.
7a) wenn f = Extremstelle, dann hat f' dort Nullstelle
7b) wenn f monoton wachsend, dann ist f' dort positiv, also über der x-Achse
7c) wenn f Sattelpunkt, dann hat f' dort eine Parabel-Nullstelle
7d) Die Beziehung von f'' zu f' ist wie f' zu f, also hier umgekehrt zu sein. Wenn die Ableitung zwei Nullstellen hat, dann hat die dargestellte Funktion f' zwei Extremstellen (ist hier der Fall).
8a) Nullpunkte bei f' --> Extremwerte bei f
b) Extremstellen bei f' --> Wendepunkte bei f
c) Die Nullstellen von f kann man nicht direkt von f' ablesen, weil f' nur eine Aussage über die Änderungen von y trifft, aber nicht über y absolut. Hier ist es noch so, dass wir bei f' offenbar eine Funktion mit x hoch ungerade als höchstem Exponenten haben, entsprechend bei f eine Funktion mit x hoch gerade als höchstem Exponenten, mindestens 4 hier, also z.B. f(x) = x hoch 4 + c. Und da das c sehr hoch sein kann, ist möglich, dass die Funktion komplett oberhalb der X-Achse ist. Also keine Aussage möglich.
Ein Graph f(x) = kx² mit k> 0 hat einen Tiefpunkt, keinen Hochpunkt, keine Wendestelle, Ableitung ist f'(x) = 2kx, also nicht permanent wachsend.
f(x) = -(x-3)² + 2 ist eine umgedrehte Parabel x² (umgedreht, da Minuszeichen am Anfang), welche um 2 noch oben geschoben (da +2) und um 3 nach rechts geschoben (da x-3 im Quadrat). Es ist der Form nach, trotz dieser Verschiebungen, immer noch nur eine umgedrehte Parabel, hat also einen Hochpunkt, keinen Wendepunkt etc.
Dazu mußt du mal verstanden haben, was die erste Ableitung f' ausdrückt.
Sie zeigt an wie sich der Graph der Funktion f verhält, also: f' ist positiv, wenn f steigt, f' ist negativ, wenn f fällt. Wenn f weder steigt noch fällt also waagerecht zur x-Achse verläuft, dann ist f' gleich Null.
Mit f'' (Zweite Ableitung) ist es genauso, aber sie drückt eben das Verhalten von f' aus.
Mit diesem Wissen kannst du schon mal die erste Aufgabe a) lösen und im Nachgang dann auch die b)
UND die Aufgabe 7 und 8 lassen sich auch damit lösen, man muß eben nur die obigen Aussagen sinnhaft kombinieren.
Vielen Dank sie haben mir schon viel Klarheit verschaffen ! Ich wollte aber nochmals fragen wie sie es meinen mit ,, Wegen c kann man sich an f(x) = k*x² orientieren.” ?
also wie genau kann ich von einer Funktion die nicht grafisch ist sondern schriftlich z.b bei f(x)=-(x-3)^2+2 eine Aussage treffen in rums ein Tiefpunkt, Rechtskurve etc. hat ?