ganzrationale funktion dritten grades ausrechnen hilfe?
Sitze gerade im Unterricht und verstehe unsere aufgabe nicht.
Der Graph einer ganzrationalen Funktion dittes Grades schneidet die y-achse bei 1 und hat bei x = -1 einen hochpunkt sowie an der Stelle x = 0,5 eine wendestelle. Die Wendetangente hat die Steigung -2,25. Ermittel Sie den Funktionsterm.
1 Antwort
Hallo,
grundsätzlich funktionieren solche Modellierungsaufgaben folgendermaßen.
Du schreibst zunächst das Schema der Funktion auf. Hier ist es eine ganzrationale Funktion dritten Grades, hat also das Schema f(x)=ax³+bx²+cx+d.
Davon bildest Du auch noch die erste und die zweite Ableitung.
Nun mußt Du die Informationen umsetzen.
Die Stelle, an der die y-Achse geschnitten wird, ist immer der Term ohne x, hier also
d=1.
Ein Hochpunkt bei x=-1 bedeutet, daß die erste Ableitung der Funktion an der Stelle x=-1 eine Nullstelle besitzt: f'(-1)=0
Die Wendetangente berührt den Funktionsgraphen am Wendepunkt und hat dort die gleiche Steigung wie die Funktion. Da der Wendepunkt bei x=1/2 liegt, bedeutet das nicht nur, daß f''(1/2)=0, sondern auch, daß die Funktion an der Stelle x=1/2 die gleiche Steigung wie die Tangente, hier also -9/4 besitzt. f'(1/2)=-9/4.
Da nur noch drei Parameter a, b und c zu bestimmen sind (d ist ja 1 und hat sich bereits erledigt), kannst Du nun ein Gleichungssystem mit drei Unbekannten und drei Gleichungen aufstellen. Eine durchaus lösbare Aufgabe.
Zur Kontrolle: f(x)=(1/3)x³-(1/2)x²-2x+1.
Herzliche Grüße,
Willy