Differentialgleichung lösen?
Ich weiß nicht, wo ich anfangen soll. Muss ich die Differentialgleichung mit einem integrierenden Faktor lösen? Ich finde dazu nichts in meiner Formelsammlung von Lothar Papula. Kann mir bitte jemand helfen. Bei mir kommen immer komische Ergebnisse raus.
2 Antworten
Erstmal gehst du bei linearen DGL immer gleich vor: Du berechnest die Menge der homogenen Lösungen, dann eine partikuläre. Bei der homogenen schaust du zusätzlich, dass die Anfangsbedingung erfüllt ist.
Homogene Lösung:
Es ist eine lineare DGL mit konstanten Koeffizienten, also kannst du den Exponentialansatz verwenden:
yh(x) = e^(a x) => yh'(x) = a e^(a x)
Eingesetzt in die homogene DGL ergibt das
a e^(a x) + e^(a x) = 0
also a = –1, damit yh(x) = C e^(–x).
Partikuläre Lösung:
Wie so oft hilft auch hier der Ansatz "Typ der rechten Seite", also konstruieren wir uns eine Funktion der selben Form wie die Inhomogenität, z. B.
yp(x) = (a x + b) e^x => yp'(x) = (a x + b + a) e^x
Eingesetzt in die DGL ergibt das
(a x + b + a) e^x + (a x + b) e^x = x e^x.
Ein Koeffizientenvergleich liefert
a = 1/2 und b = –1/4.
Also ist eine partikuläre Lösung
yp(x) = (x/2 – 1/4) e^x.
Die allgmeine Lösung der DGL ist damit
y(x) = yh(x) + yp(x) = C e^(–x) + (x/2 – 1/4) e^x.
Wegen der Anfangsbedingung y(1) = 0 lässt sich C bestimmen:
y(1) = C e^(–1) + (1/2 – 1/4) e^1
0 = C/e + e/4
–e²/4 = C
Das noch eingesetzt ergibt die Lösung des AWP:
y(x) = –1/4 e^(2–x) + (x/2 – 1/4) e^x.
Das ist eine einfache Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Ich kann mir nicht vorstellen das du dazu im Papula nichts findest. Du kannst entweder die Methode der Variation der Konstanten wählen (ein wenig viel Rechnerei) oder du schaust dir die Lösungsstruktur für die speziellen Störfunktionen an, siehe dazu z.B. Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen Nr. 4 Differentialgleichungen erster Ordnung. In dem Kapitel findest du eine Tabelle von Störfunktionen und Lösungsansätzen.