Ich habe mich mal Wikipedia für die Definition von Betriebsuntergrenze, langfristiges Preisuntergrenze, Betriebsoptimum & Betriebsminimum bedient. Alternativ siehe auch:

https://www.wiwiweb.de/kostenrechnung/methoden-und-instrumente-zur-erfassung-von-kosten-und-leistungen/kosten-nach-unterschiedlichen-kriterien/optimum/defoptim.html

Hier nun meine Lösung:

Sei also die Kostenfunktion K(x) = 3x + 5 gegeben. Die durchschnittlichen Stückkosten DK(x) sind damit gegeben zu:

DK(x) = K(x)/x = 3 + 5/x

a)

Es gilt nun das Minimum von DK(x) innerhalb des möglichen Produktionsbereiches von (0, 16] zu bestimmen. Wir versuchen zunächst die lokalen Minima der Funktion zu bestimmen:

Notwendige Bedingung: DK'(x) = 0

DK'(x) = -5/x² = 0

-> Diese Gleichung hat kein lokales Minimum auf (0, inf) da die Notwendige Bedingung nirgends erfüllt wird. Wir wissen jedoch, dass DK'(x) < 0 für alle (0, inf) und somit DK(x) auf (0, 16] streng monoton fallend ist. Damit ist das globale Minimum auf (0, 16] am rechten Rand zu finden (da die Funktion monoton abnimmt nimmt zunehmenden x). Damit liegt das Betriebsoptimum an der Betriebsgrenze von 16 ME pro Woche.

b)

Die langfristige Preisuntergrenze lautet damit DKmin = DK(16) = 3 + 5/16 = 3,3125

c)

Wir suchen das Minimum einer (glatten) Funktion auf einem beschränkten Intervall (0, 16]. Es sind folgende Punkte zu beachten:

• Die Funktion hat kein lokales Minimum im Inneren (0,16), da die notwendige Bedingung für die glatte Funktion nirgends erfüllt wird.

--> Das Minimum der Funktion muss an den Rändern von (0,16] liegen. Solche Randoptima sind (in der Regel) nicht mit der Differentialrechnung (Notwendige & Hinreichende Bedingung) berechnbar und sind zusätzlich zu den inneren lokalen Optima stets zu überprüfen.

d)

Betrachten wir nun nur noch die variablen Kosten KV(x) = 3x. Hieraus ergibt sich als durchschnittliche variable Stückkosten DVK(x):

DVK(x) = KV(x)/x = 3

Diese Funktion ist damit unabhängig von der tatsächlich produzierten Menge x pro Woche. Entsprechend gibt es kein eindeutiges Betriebsminimum (streng genommen haben wir ein ganzes Optimales Intervall von x aus [0, 16] mit identischen minimalen Durchschnittskosten von DVK([0, 16]) = 3).

Ich würde dir einmal empfehlen dich mit folgenden Verfahren auseinanderzusetzen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Knotenpotentialverfahren

https://de.wikipedia.org/wiki/Maschenstromverfahren

Diese Verfahren erlauben einen systematischen Ansatz zur Berechnung von linearen Netzwerken. Eine weitere alternative wäre die Verwendung des Superpositionsverfahrens, da es sich um ein lineares Netzwerk handelt:

https://www.amplifier.cd/Tutorial/Grundlagen/Superposition.htm

Allgemein gilt es für ideale Strom- und Spannungsquellen festzuhalten:

1) Ideale Stromquellen geben den Strom i = Iq der durch sie fließt vor. Die über der Quelle abfallende Spannung ist beliebig und stellt sich durch die Last ein. Heißt:

i = bekannt & u = unbekannt

2) Ideale Spannungsquellen geben die über sie abfallende Spannung u = Uq vor. Der Strom der durch sie fließt ist beliebig und stellt sich durch die Last ein. Heißt:

i = unbekannt & u = bekannt

Exemplarisch werde ich das Netzwerk für dich einmal durchrechnen mithilfe des Knotenpotentialverfahrens. Als Referenzknoten wähle den unteren Anschlussknoten der allen Quellen gemein ist. (Knoten die durch eine widerstandslose Verbindung verbunden sind, sind elektrisch identisch!) Es folgt für den einzigen obigen Knoten die Knotengleichung (= Kirchoffsche Knotengleichung):

K1) I2 + I3 = I02 + I1

Für die realen Spannungsquellen benötigen wir noch folgende Hilfsgleichungen ("Maschengleichung" für Zweig der realen Spannungsquelle):

A1) U01 = I1*R1 + I2*R2

A2) I2*R2 = I3*R3 + U03

U2 entspricht hier dem gesuchten Knotenpotential. Als weitere Unbekannte haben wir I1 & I3, die Quellenströme, aufgrund dessen wir die Hilfsgleichungen A1 und A2 benötigt haben (3 Unbekannte --> 3 Gleichungen). Für den Strom I2 gilt nach Bauteilgleichung:

B1) U2 = R2*I2 ---> G2*U2 = I2

wobei G2 = 1/R2 der zugehörige Leitwert (Admittanz) zum Widerstand R2 ist. Wir erhalten somit folgendes Gleichungssystem:

(i) G2*U2 + I3 = I02 + I1

(ii) U01 = I1*R1 + U2

(iii) U2 = R3*I3 + U03

Mann könnte dies nun in einer Vektorgleichung zusammenfassen und durch invertieren der zugehörigen Matrix lösen, doch dies ist hier in der Form nicht notwendig, da die Gleichungen simpel sind. Wir eliminieren nach einander die Unbekannten.

(iii) --> (ii): U01= I1*R1 + R3*I3 + U03 (iv)

(iii) --> (i): G2*R3*I3 + G2*U03 + I3 = I02 + I1 (v)

Zusammenfassen & Umstellen liefert:

(iv) U01= I1*R1 + R3*I3 + U03

(v) (G2*R3 + 1)*I3 + G2*U03 - I02 = I1

Einsetzen von (v) in (iv) ergibt damit:

(vi) U01= R1*[(G2*R3 + 1)*I3 + G2*U03 - I02] + R3*I3 + U03

Dies kann nun nach I3 aufgelöst werden. Wir erhalten damit:

(vii) I3 = (U01 - U03 - R1*G2*U03 + R1*I02) / (R1*(G2*R3 + 1) + R3)

Damit ist I3 nun bestimmt. Einsetzen in (iii) liefert damit das gesuchte Knotenpotential U2:

(vii) --> (iii): U2 = R3*I3 + U03 (viii)

Die letzte Unbekannte, der Strom I1, ist dann ebenfalls gegeben durch (ii) und folgt zu:

(viii) --> (ii): U01 = I1*R1 + U2 --> I1 = (U01 - U2)/R1

Für die übrigen Spannungen U1 & U3 sind dann einfach die Bauteilgleichungen (U = R*I) zu verwenden oder alternativ die Potentialdifferenzen ... .

Betrachte zunächst den Fall n = 1:

--> det(A) = (a² - b²)^1

Die Aussage stimmt somit für den Fall n = 1.

Nehme nun an, dass die Aussage für ein n >= 1 war ist. Für n+1 folgt dann nach dem Enwicklungssatz von Laplace bei Entwicklung nach der ersten Zeile:

det(A(n+1)) = (-1)^2 * a² *det(A(n)) + (-1)^(2n+1) * b² * det(A(n)) = (a² - b²)*det(A(n))

Da nach Annahme det(A(n)) = (a² - b²)^n folgt somit

det(A(n+1)) = (a² - b²)^(n+1)

was zu zeigen war.

Um zu dem Ausdruck für det(A(n+1)) zu gelangen betrachte explizit wie sich die Matrix durch streichen der ersten Zeile und der ersten oder letzten Spalte verändert:

A = A(n+1) = [a 0 0 b]
             [0 a b 0]
             [0 b a 0]
             [b 0 0 a]

A(1,1) = [a b 0]
         [b a 0]
         [0 0 a]

A(1,4) = [0 a b]
         [0 b a]
         [b 0 0]

Erneutes anwenden des Entwicklungssatzes auf die Matrizen liefert dann (Entwicklung nach der letzten bzw. ersten Spalte): 
det(A(1,1)) = a * (-1)^(2n-1 + 2n-1) * det(A(n)) = a * det(A(n))
det(A(1,4)) = b * (-1)^(1 + 2n-1) * det(A(n)) = (-1)*b*det(A(n))

Sodass sich dann für die gesamte Deterimante von A(n+1) ergibt:
det(A(n+1)) = (a² - b²)*det(A(n))

Man sieht recht schnell das gilt (Alternativ Additionstheoreme verwenden):

sin(11x/2)*(sin(6x) - cos(6x)) + cos(11x/2)*(sin(6x) + cos(6x))

= Re{ exp(-i*11x/2) * exp(i*6x) } + Im{ exp(-i*11x/2) * exp(i*6x) }

= Re{ exp(i*x/2) } + Im{ exp(i*x/2) }

= cos(x/2) + sin(x/2)

Unter der Annahme: tan(x) = - sqrt(11)/5 folgt damit

--> cos(x) = - sqrt(1/(1 + tan(x)²)) [Vorzeichen aufgrund pi/2 < x < pi]

--> cos(x) = -5/6

Gemäß Halbwinkelformeln gilt dann:

cos(x/2) = sqrt((1 + cos(x))/2) = sqrt(3)/6

sin(x/2) = sqrt((1 - cos(x))/2) = sqrt(33)/6

Damit erhalten wir als Antwort

cos(x/2) + sin(x/2) = (1 + sqrt(11))/(2*sqrt(3))

und somit ist Antwort (B) richtig.

Für Halbwinkelformeln siehe:

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Halbwinkelformeln

Die Auftriebskraft auf den Prisma ist gegeben durch

Fa = Vu * rho * g

wobei Vu das Volumen des eingetauchten Teils, rho die Dichte der Flüssigkeit und g die Fallbeschleunigung ist. Für die Schwerkraft auf den Körper gilt:

Fg = m*g

wobei m die gesamte Masse des betrachteten Körpers ist. Somit ergibt sich als Bewegungsgleichung in x-Richtung unter Berücksichtigung der Richtungen:

m*d²x/dt² = Fg - Fa = m*g - Vu * rho * g

Umformen und vereinfachen liefert:

d²x/dt² = g - Vu * (rho * g)/m

Dies ist offensichtlich eine inhomogene nichtlineare DGL zweiter Ordnung aufgrund er der rechten Seite. Gemäß Aufgabenstellung betrachten wir jedoch nur kleine Abweichungen aus der Ruhelage. Bestimme also zunächst die Ruhelage X0 der DGL:

0 = d²x/dt² = g - Vu * (rho * g)/m

-> Vu = rho/m

-> A/(2h) * (h² - (h - X0)²) = rho/m

-> (h² - (h - X0)²) = 2*h*rho/(A*m)

--> h +/- (h² - 2*h*rho/(A*m))^0.5 = X0

Da die Quadratwurzel nach Definition stets positiv ist und die Ruhelage unter Annahme des Schwimmens die Bedingung X0 <= h erfüllen muss (da für X0 > h der Körper im stationären Fall nicht schwimmen würde ... ) folgt:

X0 = h - (h² - 2*h*rho/(A*m))^0.5

Man betrache im nächsten Schritt die Bewegung bei einer kleinen Abweichung aus der Ruhelage X0. Es gilt somit:

x = X0 + y

wobei y die kleine Abweichung ist. Einsetzen liefert:

d²(X0 + y)/dt² = g - Vu(X0 + y) * (rho * g)/m

Berücksichtige, dass X0 konstant ist, und entwickle Vu mittels einer Taylorapproximatiuon für kleine Abweichungen y um Enwicklungspunkt X0:

--> 0 + d²y/dt² = g - [Vu(X0) + dVu/dx(X0) * y + o(y^2)] * (rho * g)/m

Beachte:

(i) 0 = g - Vu(X0) * (rho * g)/m [Definition Ruhelage]

(ii) |y| ist klein --> Terme höherer Ordnung sind vernachlässigbar nahe X0

--> d²y/dt² = dVu/dx(X0) * y * (rho * g)/m

Es gilt: dVu/dx = A/(2h) * (0 + 2*(h - x)) = A/h * (h - x)

--> d²y/dt² = A/h * (h - X0) * y * (rho * g)/m

--> d²y/dt² - A/h * (h - X0) * (rho * g)/m * y = 0

Damit folgt für die Kreisfrequenz der Oszillation um X0:

w = (A/h * (h - X0) * (rho * g)/m)^0.5

Kurzform: Du hast übersehen, dass nur der Fall für kleine Auslenkungen aus der Ruhelage betrachtet wird. Damit reduziert sich das Modell auf das um die Ruhelage Linearisierte. Somit sind wieder Standard-Methoden anwendbar.

Ich nehme mal an, dass der betrachtete Vorgang von der Gestalt:

x(k+1) = A*x(k)

ist. Hierbei ist x(k) der Vektor mit den relevanten Größen zu einem Zeitpunkt k. Der Vektor mit den relevanten Größen zum nachfolgenden Zeitpunkt ist dann über obigen Zusammenhang von den relevanten Größen vom vorherigen Zeitpunkt abhängig. Entsprechend kann man sich überlegen, dass gilt:

x(1) = A*x(0)

x(2) = A*x(1) = A² * x(0)

x(3) = A*x(2) = A² * x(1) = A³ * x(0)

...

x(k) = A^k * x(0)

Sei nun x zu einem beliebigen Zeitpunkt k gegeben. Man berechnet aus obigen Zusammenhang damit x zu Beobachtungsbeginn k = 0 zu:

x(k) = A^k * x(0) ---> x(0) = (A^k)^-1 * x(k)

Wobei gilt: (A^k)^-1 = (A^-1)^k = A^-k

Allgemeiner ließe sich sogar folgendes angeben:

x(n) = A^(n - m) * x(m)

für beliebige Werte von n und m. Setze z.B. n = 0 und m = k und du erhälst sofort die hergeleitete Formel für den obigen Spezialfall der Berechnung von x(0) aus x(k).

Wähle zunächst

Anschließend, wenn du in dem rechten Feld bist (dort wo nachher das X stehen soll); dann wähle folgendes

Das Endergebnis sieht dann wie folgt aus:

Es sei p die Polpaarzahl, f die Statorfrequenz, s der Schlupf und n die Drehzahl des Rotors. Dann gilt:

s = (f - n*p)/f

Umstellen nach n liefert:

(1 - s)*f/p = n

Mit den Werten s = 0.04, f = 65Hz und p = 2 folgt damit

n = 31,2 s^-1 = 1872 min^-1

--> Die Antwort 3 ist richtig.

Allgemein empfehle ich bei Textaufgaben ein vorgehen wie man es vielleicht aus dem Physik-Unterricht kennt. Man bestimme zunächst folgende Dinge:

1. Was ist gegeben?
2. Was ist gesucht?

In einem letzten Schritt gilt es aus dem Gegebenen das Gesuchte zu extrahieren. Hier ein paar Beispiele:

Aufgabe 1: (Quelle: https://www.macfunktion.ch/textaufgaben/beispiele.shtml)

Eine Treppe hat 22 Stufen. Würde jede Stufe um 1.6 cm höher gebaut, könnten zwei Stufen eingespart werden. Wie hoch ist eine Stufe?

Bestimme was gegeben ist:

(i) Treppe hat 22 Stufen

(ii) Sei H die Gesamthöhe der Treppe in cm und hs die Höhe einer Stufe in cm, so gilt:

22*hs = H = 20*(hs + 1,6cm)

Bestimme nun was gesucht ist:

(i) Gesucht ist die Höhe der ursprünglichen Stufen hs

Extrahiere nun hs aus den gegebenen Daten:

22*hs = 20*(hs + 1,6cm) | - 20hs

2*hs = 32cm | :2

hs = 16cm

Antwort: Die gesuchte Höhe einer Stufe lautet hs = 16cm.

Aufgabe 2: (Quelle: https://www.macfunktion.ch/textaufgaben/beispiele.shtml)

In einem Stall leben Hühner und Kaninchen. Alfred zählt 171 Köpfe und 498 Beine. Wie viele Hühner und wie viele Kaninchen wohnen in diesem Stall?

Gegeben ist:

(i) Hühner (1 Kopf, 2 Beine) & Kaninchen (1 Kopf, 4 Beine) leben im Stall

(ii) Sei H die Anzahl Hühner und K die Anzahl Kaninchen. So gilt nach der Zählung:

(ii.1) H*1 + K*1 = 171 (Summe der Köpfe)

(ii.2) H*2 + K*4 = 498 (Summe der Beine)

Gesucht ist:

Anzahl an Hühnern H und Kaninchen K.

Es gilt nun H und K aus den gegebenen Tatsachen zu bestimmen:

Aus (ii.2) - 2*(ii.1) folgt:

K*2 = 498 - 2*171 | :2

K = (498 - 2*171)/2 = 78 (iii)

Einsetzen von (iii) in (ii.1) liefert:

H + 78 = 171 | - 78

H = 171 - 78 = 93 (iv)

Antwort: In dem Stall befinden sich H = 93 Hühner und K = 78 Kaninchen.

Die Fähigkeit das gegebene in passender Form zu formulieren bzw. überhaupt dem Text zu entnehmen bedarf einiger Übung, wenn man es nicht gewöhnt ist. Probiere dich einfach an weiteren Übungsaufgaben wie sie z.B. in https://www.macfunktion.ch/textaufgaben/beispiele.shtml aufgeführt werden.

Nach Gauß gilt:

int[V]{ div(F) dV} = int[O]{ F*n dA}

Für hinreichend kleines Volumen V mit Oberfläche O können wir wie folgt approximieren (denk an einen kleinen Quader oder eine kleine Kugel):

int[V]{ div(F) dV} ~ div(F)*dV

--> div(F) = int[O]{ F*n dA}/dV

Damit ist die Divergenz eines Vektorfeldes F in einem Punkt x gleich dem "aus dem Punkt x austretenden" Quellstrom pro Volumen, der durch F beschrieben wird.

Nach Stokes gilt:

int[A]{ curl(F)*n dA} = int[C]{ F dr }

Für hinreichend kleine Fläche mit Rand C können wir wie folgt approximieren:

int[A]{ curl(F)*n dA} ~ curl(F)*n*dA

--> curl(F)*n = int[C]{ F dr }/dA

Damit ist curl(F)*n ein Maß für die Rotation des durch F beschriebenen Flusses mit Rotationsachse n.

Beispiel:

Betrachte das Geschwindigkeitsfeld v = w x r mit konstanter Winkelgeschwindigkeit w und Positionsvektor r. Es folgt

curl(w x r) = nabla x (w x r ) = div(r)*w - div(w)*r = 3*w

Siehe auch:

https://www.youtube.com/watch?v=qOcFJKQPZfo

https://math.libretexts.org/Bookshelves/Calculus/Calculus_(OpenStax)/16%3A_Vector_Calculus/16.05%3A_Divergence_and_Curl

https://www.geogebra.org/m/XfmAAUTG

https://www.youtube.com/watch?v=rB83DpBJQsE

Als Gesamtimpedanz gilt:

Zges = Z1 + Z2 + (Z3||(Z4 + Z5)) + Z6

mit Impedanzen

Z1 = R1 + jwL1

Z2 = 1/(jwC2)

Z3 = R3

Z4 = R4 || (1/jwC4)

Z5 = R5 + jwL5

Z6 = 1/(jwC6)

Ferner gilt: XC = -1/(wC) und XL = wL

Berechne nun alle Teilimpedanzen und setze in Zges ein. Es folgt damit dann die Gesamtimpedanz.

Aufgabe 3a)

Im Kern lässt sich der Stromfluss in zwei Anteile aufteilen. Einmal in Elektronen mit Spin a (->) oder Spin b (<-). Es gilt:

Iges = Ia + Ib

Im Fall A:

Der Strom Ia erfährt einen Widerstand Rab (anti-parallel) in der ersten Schicht und Raa (parallel) in der letzten Schicht. Die mittlere Schicht kann nach Aufgabenstellung vernachlässigt werden. Der Strom Ib erfährt analog einen Widerstand Rbb in der ersten Schicht und Rba in der letzten Schicht. Damit besteht das ESB für Fall A aus einer Parallelschaltung von jeweils zwei in Reihe liegenden Widerständen. Der Gesamtwiderstand RA ergibt sich dann zu

RA = (Rab + Raa)||(Rbb + Rba) = (Rab + Raa)/2

da Rab = Rba und Raa = Rbb gilt.

Im Fall B:

Der Strom Ia erfährt einen Widerstand Raa (parallel) in der ersten Schicht und Raa in der letzten Schicht. Der Strom Ib erfährt einen Widerstand Rba (antiparallel) in der ersten Schicht und Rba in der letzten Schicht. Entsprechend besteht das ESB für Fall B aus einer Parallelschaltung von zwei Widerständen Raa in Reihe parallel zu zwei Widerständen Rba in Reihe. Es gilt damit für den Gesamtwiderstand

RB = (Raa + Raa)||(Rba + Rba) = 2*Raa*Rab/(Raa + Rab)

Für ein ESB siehe auch https://en.wikipedia.org/wiki/Giant_magnetoresistance#/media/File:Spin-valve_GMR.svg

Aufgabe 3b)

Für das Verähltnis RB/RA folgt durch Einsetzen

RB/RA = (2*Raa*Rab/(Raa + Rab))/((Rab + Raa)/2)

= 4*Raa*Rab/(Raa + Rab)² = 4*Raa*Rab/(Raa² + 2*Raa*Rab + Rab²)

Verwende nun (x - y)² = x² - 2y + y² >= 0 ---> x² + y² >= 2xy sodass wir den Nennen abschätzen können durch

Raa² + 2*Raa*Rab + Rab² >= 2*Raa*Rab + 2*Raa*Rab = 4*Raa*Rab

Damit folgt entsprechend

RB/RA = 4*Raa*Rab/(Raa + Rab)² <= 4*Raa*Rab/(4*Raa*Rab) = 1

--> RB <= RA

wobei aufgrund rho_parallel < rho_anti die strikte Variante

RB < RA

gilt, was zu zeigen war.

Aufgabe 3c)

Verwende das Ergebnis aus b), sodass folgt

(RA - RB)/RA = 1 - 4*Raa*Rab/(Raa² + 2*Raa*Rab + Rab²)

= [Raa² + 2*Raa*Rab + Rab² - 4*Raa*Rab]/(Raa² + 2*Raa*Rab + Rab²)

= [Raa² - 2*Raa*Rab + Rab²]/(Raa² + 2*Raa*Rab + Rab²)

= (Raa - Rab)²/(Raa + Rab)²

Klammere nun Rab sowohl aus Nenner und Zähler aus um das ganz in Abhängigkeit des Verhältnisses auszudrücken, mit

Raa/Rab = rho_parallel/rho_anti = alpha

folgt somit

(RA - RB)/RA = (Raa - Rab)²/(Raa + Rab)²

= (Raa/Rab - 1)²/(Raa/Rab + 1)²

= (alpha - 1)²/(alpha + 1)²

Die gesuchte Relative Änderung ist damit gegeben durch

(RA - RB)/RA = (alpha - 1)²/(alpha + 1)²

Aus der Bedingung von U12 folgt R1 = 150 Ohm, da die Brückenschaltung in dem Fall abgeglichen ist (R1/R2 = R3/R4 = 1 --> R1 = R2). Für den Pt100-Widersand gilt:

R(T) = R(T0)*(1 + alpha*(T - T0))

wobei per Definition T0 = 0°C (= 273,15 K) und R(T0) = 100 Ohm. Der Temperaturkoeffizient alpha ist in der Aufgabenstellung zu 0,00385 K^-1 gegeben. Durch Umtellen nach T folgt hier:

T = T0 + [(R(T)/R(T0)) - 1]/alpha = 0°C + 0.5/(0.00385 K^-1) = 129.9 °C

Damit ist also Antwortmöglichkeit (4) richtig.

Ich würde es wie folgt angehen:

1. Analysiere zunächst die Stetigkeit und Differenzierbarkeit auf (-inf, -1), (-1, 1) und (1, inf)
2. Bestimme die Ableitung der Funktion in (-1,1) und Analysiere diese hinsichtlich Stetigkeit auf (-1,1)
3. Bestimme die Ableitung in (1, inf) und (-inf, -1) und Analysiere diese hinsichtlich Stetigkeit
4. Zeige das der links- und rechtsseitige Grenzwert in x = 1 bzw. x = -1 übereinstimmen

Zu Punkt 4 siehe https://math.stackexchange.com/questions/1506273/rigorous-proof-of-continuity-at-a-if-and-only-if-left-and-right-limits-equal-fa

Das hier ist eine gute Quelle für Einsteiger:

https://dronebotworkshop.com/real-robot-003/

Hier auch noch weitere Ressourcen zu dem Thema:

https://robottini.altervista.org/how-to-choose-the-motors-for-the-robot

https://community.robotshop.com/blog/show/drive-motor-sizing-tutorial

https://maker.pro/custom/tutorial/motor-sizing-math

https://rozum.com/find-robot-motor/

Im Prinzip kommt es darauf an, was du mit deinem Roboter machen möchtest. Soll es z.B. ein mobiler Roboter sein? Soll es ein stationärer Roboter sein? Was für Lasten sollen bewegt werden und wie schnell soll dies passieren? Diese und weitere Fragen gilt es zu klären bevor du dich für einen oder mehrere Motoren entscheidest.

Die magnetische Anziehungskraft ist gegeben durch

Fmag = (B1²*A1 + B2²*A2)/(2*µ0)

Hierbei ist Ages die Gesamte Fläche des Luftspaltes und setzt sich aus der Fläche A1, dem inneren Kreis mit Durchmesser d1, und dem äußeren Kreisring mit Innendurchmesser d2 und Außendurchmesser d3 zusammen. Es folgt

A1 = pi*d1²/4

A2 = pi*(d3² - d2²)/4

Die mechanische Kraft die durch die magnetische Kraft kompensiert werden muss lautet

Fmech = m*g

Ferner beachte man, dass der herausfließende Fluss gleich dem eintretenen Fluss ist (es gibt keine magnetischen Ladungen)

--> B1*A1 = B2*A2

Damit erhalten wir durch umformen:

B1 = sqrt(m*g*2*µ0/(A1 + A1²/A2) = ca. 0,122T

Schließlich gilt es den Fluss Phi zu bestimmen. Beachte, dass dieser einmal durch A1 aus dem Joch austritt und durch A2 eintritt (bzw. anders herum, je nach Flussrichtung). Entsprechend gilt

Phi = B1*A1 = B2*A2 = 0,018Vs

https://www.wolframalpha.com/input?i=sqrt%282e3*10*2*4*pi*1e-7%2F%28%28pi%2F4%29*%2810e-2%5E2+%2B+%2810e-2%5E2%29%5E2%2F%2830e-2%5E2+-+15e-2%5E2%29%29%29%29+*+pi*0.25*10e-2%5E2

Aufgabe a)

Wende hier das Maschenstromverfahren an. Wähle die Maschen wie folgt:

M1: U1 -> Z12 -> Z23 -> U3 -> U1 (Strom I1)

M2: U2 -> Z23 -> U3 -> -> U2 (Strom I2)

M3: Z13 -> Z23 -> Z12 -> Z13 (Strom I3)

Durch die spezielle Wahl von M1, M2 und M3 gilt, dass der Maschenstrom I1 hier mit dem Strom I1 = IL1 aus dem ESB übereinstimmt, sowie IL2 = I2. Via "Brute Force" erhalten wir aus den Maschen- und Knotengleichungen:

(i) I1 = (2*U13 - U23)/Z

(ii) I2 = (2*U23 - U13)/Z

mit Ukm = Uk - Um. Wobei Z12 = Z23 = Z13 = Z. Die fetten Größen sind komplexe Größen. Wir erhalten somit für |Z| = Z:

(i) --> Z = |(2*U13 - U23)|/I1 = 3*U1/I1 = 959.1 Ohm (iii)

Ferner können wir mit (i) und (ii) die entsprechenden Scheinleistung für die Zweige bestimmen, welche durch die Watt-Meter überwacht werden. Es gilt:

(iv) P1 = Re{ S1 } = Re{ U13*conj(I1) } = (1.5*R + 0.5*sqrt(3)*wL)*(U13^2)/Z²

(v) P2 = Re{ S2 } = Re{ U23*conj(I2) } = (1.5*R - 0.5*sqrt(3)*wL)*(U23^2)/Z²

wobei für die induktive Last Z = R + j*wL gilt. Durch geschickte Addition bzw. Subtraktion von (iv) und (v) voneinander erhalten wir:

(iv) + (v) ----> (vi) P1 + P2 = 3*R*(U23^2)/Z²

(iv) - (v) ----> (vii) P1 - P2 = sqrt(3)*wL*(U23^2)/Z²

Aus (vi), (vii) und (iii) können wir dann R und wL von Z berechnen. Es folgt:

(viii) R = (P1 + P2)*Z²/(3*U23^2)

(ix) wL = (P1 - P2)*Z²/(sqrt(3)*U23^2)

und zusätzlich gilt für das Verhältnis wL/R = tan(Phi) = sqrt(3)*(P1 - P2)/(P1 + P2).

Aufgabe b)

Die gesamte von der Last verbrauchte Scheinleistung folgt direkt aus Summe der Scheinleistungen der einzelnen Zweige zu

SLast = 3*(U12^2)/(R - jwL) = 3*(U12^2)*(R + jwL)/(R² + (wL)²)

Damit folgt die von der Last verbrauchte Scheinleistung zu

QLast = Im{ SLast } = 3*(U12^2)*wL/(R² + (wL)²)

Wähle als Kompensationselemente Kondensatoren, da diese Scheinleistung bereitsstellen (negative Scheinleistung verbrauchen). Die zugehörige Impedanz ist

Zc = 1/(jwC)

Die "verbrauchte" Blindleistung des Kompensators berechnet sich damit zu

Qc = (-3)*U1²*wC

Aus der geforderten Bedingung Qc + QLast = 0 erhalten wir damit durch Umformen

wC = QLast/(3*U1²)

Beachte, dass Pc = 0, da die Kondensatoren nur Blindleistung aufnehmen und damit

Sc = j*Qc

gilt.

Aufgabe c)

Wie in b) bereits erwähnt gilt Pc = 0. Damit folgt in der Leistungsbilanz

Pges = PLast + Pc = PLast (da Pc = 0 nach unserem Design in b))

Qges = Qc + QLast = 0 (da wir das in b) so designed haben)

Schließlich folgt für PLast hier:

PLast = 3*(U12^2)*R/Z²

Hiermit können wir die Außenleiterströme berechnen. Da lediglich Wirkleistung verbraucht wird (Qges = 0) müssen die Außenleiterströme jeweils die selbe Phasenlage wie die Leiterspannungen haben. Betragsmäßig folgt

Sges = 3*U1*IL1 = PLast

--> IL1 = PLast/(3*U1) = PLast/(sqrt(3)*U12)

Aufgrund der Symmetrie gilt IL1 = IL2 = IL3. Hinsichtlich der Phasenlage folgt entsprechend

arg(IL1) = arg(U1) = 0°

arg(IL2) = arg(U2) = -120°

arg(IL3) = arg(U3) = -240°

Aufgabe d)

Rechnerisch lassen sich die neuen Außenleiterströme direkt aus dem ESB bestimmen. Es folgt:

IL1' = U1/Zc + U12/Z

IL2' = U2/Zc + U23/Z + U21/Z

IL3' = U3/Zc + U32/Z

Schreib das Feld von Polarkoordinaten und Komponenten in kartesische Koordinaten und Komponenten um. Es gilt z.B. für einen Leiter mit Position r0 = (x0; y0)^T:

rho(r, r0) = |r - r0| = sqrt((x - x0)^2 + (y - y0)^2)

e_rho(r, r0) = (r - r0)/|r - r0|

e_phi(r, r0) = (-(y - y0); x - x0)^T / |r - r0|

wobei man sich die Zusammenhänge über de_rho/dPhi = e_phi und rho*cos(phi) = x - x0 und rho*sin(phi) = y - y0 leicht merken bzw. herleiten kann.

Für die magnetische Feldstärke H(r, r0) eines einzelnen durchflossenen Leiters mit Strom I und Position r0 erhalten wir somit

H(r, r0) = (I/(2pi)) * (y - y0; -(x - x0))^T / |r - r0|²

Die "fetten" Größen sind dabei vektorielle Größen.

A4.2.2)

Die Reluktanz ist im allgemeinen Proportional zur durchflossenen Länge. Die durchflossene Eisenlänge der linken Hälfte verändert sich bei Verschiebung um x zu

Lfe,links(x) = Lfe,links(0) + 2*x

Entsprechend folgt aus R ~ L hier entsprechend

Rfe,links(x) = Rfe,links(0)*(Lfe,links(x)/Lfe,links(0))

Einsetzen ergibt damit

Rfe,links(x) = Rfe,links(0)*(1 + 2*x/Lfe,links(0) )

Analog folgt für die rechte Seite

Rfe,rechts(x) = Rfe,rechts(0)*(1 - 2*x/Lfe,rechts(0) )

Mit Lfe,links(0) = Lfe,rechts(0) = 2*(a/2 + b/2 + c + b/2) = a + 2b + 2c erhalten wir somit

Rfe,links(x) = 600kA/(Vs) * (1 + 2*x/(50cm)) = 600kA/(Vs) * (1 + 4*x/m)

Rfe,rechts(x) = 600kA/(Vs) * (1 - 2*x/(50cm)) = 600kA/(Vs) * (1 - 4*x/m)

Für die Gesamtreluktanz ergibt sich somit analog wie zuvor

Rges = Rm,mi + (Rm,L + Rfe,links(x))||(Rm,L + Rfe,rechts(x))

--> Rges = 8,8 MA/(Vs) - 0,514 MA/(Vs) * (x/m)²

A4.2.4)

Die Flussdichte ist uns aus 4.2.3 bekannt und lässt sich den Lösungen entnehmen. Im magnetischen Ersatzschaltbild wird nun eine zusätzliche magnetische Spannungsquelle eingefügt mit Quellspannung Vq = N*I im rechten Parallelzweig. Aus der Annahme, dass sich die Gesamtreluktanz nicht verändert können wir uns bei der Berechnung von BL etwas Arbeit sparen durch Anwendung des Superpositionsprinzips. Den Beitrag durch den Permanentmagneten haben wir schon bestimmt. BL setzt sich Additiv durch den Beitrag des Permanentmagneten und der Spule zusammen. Für die Berechnung des Beitrages durch die Spule bestimme zunächst den Fluss durch den linken Luftspalt, der durch die Spule verursacht wird. Hierzu ersetze alle Spannungsquellen durch Kurzschlüsse und alle Stromquellen durch offene Klemmen, gemäß des Verfahrens der Superposition. Bestimme schließlich den Fluss und damit den Beitrag der Spule zu BL links. Für die Bestimmung des Stromes mache von der Bedingung gebrauch, dass B(x) = B = 0 gelten soll und Forme nach I um.

Sollte hinsichtlich der Lösung für 4.2.4 noch Unklarheiten bestehen, dann kommentiere einfach und dann rechne ich dir das morgen vor.

Für den Gesamtstrom musst du J über die durchflossene orientierte Querschnittsfläche integrieren. Es gilt:

I = int[A]{ J dA }

Es folgt hier:

I = int[0, a][0, b]{ (3 + y/b)*k0*U/L dydx } = a*k0*(U/L)*{(3 + b/b)²*b*0,5 - (3 + 0/b)²*b*0,5}

--> I = a*k0*(U/L)*(7b)/2

die gesuchte Stromstärke ...