Ich nehme mal an, dass der betrachtete Vorgang von der Gestalt:

x(k+1) = A*x(k)

ist. Hierbei ist x(k) der Vektor mit den relevanten Größen zu einem Zeitpunkt k. Der Vektor mit den relevanten Größen zum nachfolgenden Zeitpunkt ist dann über obigen Zusammenhang von den relevanten Größen vom vorherigen Zeitpunkt abhängig. Entsprechend kann man sich überlegen, dass gilt:

x(1) = A*x(0)

x(2) = A*x(1) = A² * x(0)

x(3) = A*x(2) = A² * x(1) = A³ * x(0)

...

x(k) = A^k * x(0)

Sei nun x zu einem beliebigen Zeitpunkt k gegeben. Man berechnet aus obigen Zusammenhang damit x zu Beobachtungsbeginn k = 0 zu:

x(k) = A^k * x(0) ---> x(0) = (A^k)^-1 * x(k)

Wobei gilt: (A^k)^-1 = (A^-1)^k = A^-k

Allgemeiner ließe sich sogar folgendes angeben:

x(n) = A^(n - m) * x(m)

für beliebige Werte von n und m. Setze z.B. n = 0 und m = k und du erhälst sofort die hergeleitete Formel für den obigen Spezialfall der Berechnung von x(0) aus x(k).

Wähle zunächst

Anschließend, wenn du in dem rechten Feld bist (dort wo nachher das X stehen soll); dann wähle folgendes

Das Endergebnis sieht dann wie folgt aus:

Es sei p die Polpaarzahl, f die Statorfrequenz, s der Schlupf und n die Drehzahl des Rotors. Dann gilt:

s = (f - n*p)/f

Umstellen nach n liefert:

(1 - s)*f/p = n

Mit den Werten s = 0.04, f = 65Hz und p = 2 folgt damit

n = 31,2 s^-1 = 1872 min^-1

--> Die Antwort 3 ist richtig.

Allgemein empfehle ich bei Textaufgaben ein vorgehen wie man es vielleicht aus dem Physik-Unterricht kennt. Man bestimme zunächst folgende Dinge:

1. Was ist gegeben?
2. Was ist gesucht?

In einem letzten Schritt gilt es aus dem Gegebenen das Gesuchte zu extrahieren. Hier ein paar Beispiele:

Aufgabe 1: (Quelle: https://www.macfunktion.ch/textaufgaben/beispiele.shtml)

Eine Treppe hat 22 Stufen. Würde jede Stufe um 1.6 cm höher gebaut, könnten zwei Stufen eingespart werden. Wie hoch ist eine Stufe?

Bestimme was gegeben ist:

(i) Treppe hat 22 Stufen

(ii) Sei H die Gesamthöhe der Treppe in cm und hs die Höhe einer Stufe in cm, so gilt:

22*hs = H = 20*(hs + 1,6cm)

Bestimme nun was gesucht ist:

(i) Gesucht ist die Höhe der ursprünglichen Stufen hs

Extrahiere nun hs aus den gegebenen Daten:

22*hs = 20*(hs + 1,6cm) | - 20hs

2*hs = 32cm | :2

hs = 16cm

Antwort: Die gesuchte Höhe einer Stufe lautet hs = 16cm.

Aufgabe 2: (Quelle: https://www.macfunktion.ch/textaufgaben/beispiele.shtml)

In einem Stall leben Hühner und Kaninchen. Alfred zählt 171 Köpfe und 498 Beine. Wie viele Hühner und wie viele Kaninchen wohnen in diesem Stall?

Gegeben ist:

(i) Hühner (1 Kopf, 2 Beine) & Kaninchen (1 Kopf, 4 Beine) leben im Stall

(ii) Sei H die Anzahl Hühner und K die Anzahl Kaninchen. So gilt nach der Zählung:

(ii.1) H*1 + K*1 = 171 (Summe der Köpfe)

(ii.2) H*2 + K*4 = 498 (Summe der Beine)

Gesucht ist:

Anzahl an Hühnern H und Kaninchen K.

Es gilt nun H und K aus den gegebenen Tatsachen zu bestimmen:

Aus (ii.2) - 2*(ii.1) folgt:

K*2 = 498 - 2*171 | :2

K = (498 - 2*171)/2 = 78 (iii)

Einsetzen von (iii) in (ii.1) liefert:

H + 78 = 171 | - 78

H = 171 - 78 = 93 (iv)

Antwort: In dem Stall befinden sich H = 93 Hühner und K = 78 Kaninchen.

Die Fähigkeit das gegebene in passender Form zu formulieren bzw. überhaupt dem Text zu entnehmen bedarf einiger Übung, wenn man es nicht gewöhnt ist. Probiere dich einfach an weiteren Übungsaufgaben wie sie z.B. in https://www.macfunktion.ch/textaufgaben/beispiele.shtml aufgeführt werden.

Nach Gauß gilt:

int[V]{ div(F) dV} = int[O]{ F*n dA}

Für hinreichend kleines Volumen V mit Oberfläche O können wir wie folgt approximieren (denk an einen kleinen Quader oder eine kleine Kugel):

int[V]{ div(F) dV} ~ div(F)*dV

--> div(F) = int[O]{ F*n dA}/dV

Damit ist die Divergenz eines Vektorfeldes F in einem Punkt x gleich dem "aus dem Punkt x austretenden" Quellstrom pro Volumen, der durch F beschrieben wird.

Nach Stokes gilt:

int[A]{ curl(F)*n dA} = int[C]{ F dr }

Für hinreichend kleine Fläche mit Rand C können wir wie folgt approximieren:

int[A]{ curl(F)*n dA} ~ curl(F)*n*dA

--> curl(F)*n = int[C]{ F dr }/dA

Damit ist curl(F)*n ein Maß für die Rotation des durch F beschriebenen Flusses mit Rotationsachse n.

Beispiel:

Betrachte das Geschwindigkeitsfeld v = w x r mit konstanter Winkelgeschwindigkeit w und Positionsvektor r. Es folgt

curl(w x r) = nabla x (w x r ) = div(r)*w - div(w)*r = 3*w

Siehe auch:

https://www.youtube.com/watch?v=qOcFJKQPZfo

https://math.libretexts.org/Bookshelves/Calculus/Calculus_(OpenStax)/16%3A_Vector_Calculus/16.05%3A_Divergence_and_Curl

https://www.geogebra.org/m/XfmAAUTG

https://www.youtube.com/watch?v=rB83DpBJQsE

Als Gesamtimpedanz gilt:

Zges = Z1 + Z2 + (Z3||(Z4 + Z5)) + Z6

mit Impedanzen

Z1 = R1 + jwL1

Z2 = 1/(jwC2)

Z3 = R3

Z4 = R4 || (1/jwC4)

Z5 = R5 + jwL5

Z6 = 1/(jwC6)

Ferner gilt: XC = -1/(wC) und XL = wL

Berechne nun alle Teilimpedanzen und setze in Zges ein. Es folgt damit dann die Gesamtimpedanz.

Aufgabe 3a)

Im Kern lässt sich der Stromfluss in zwei Anteile aufteilen. Einmal in Elektronen mit Spin a (->) oder Spin b (<-). Es gilt:

Iges = Ia + Ib

Im Fall A:

Der Strom Ia erfährt einen Widerstand Rab (anti-parallel) in der ersten Schicht und Raa (parallel) in der letzten Schicht. Die mittlere Schicht kann nach Aufgabenstellung vernachlässigt werden. Der Strom Ib erfährt analog einen Widerstand Rbb in der ersten Schicht und Rba in der letzten Schicht. Damit besteht das ESB für Fall A aus einer Parallelschaltung von jeweils zwei in Reihe liegenden Widerständen. Der Gesamtwiderstand RA ergibt sich dann zu

RA = (Rab + Raa)||(Rbb + Rba) = (Rab + Raa)/2

da Rab = Rba und Raa = Rbb gilt.

Im Fall B:

Der Strom Ia erfährt einen Widerstand Raa (parallel) in der ersten Schicht und Raa in der letzten Schicht. Der Strom Ib erfährt einen Widerstand Rba (antiparallel) in der ersten Schicht und Rba in der letzten Schicht. Entsprechend besteht das ESB für Fall B aus einer Parallelschaltung von zwei Widerständen Raa in Reihe parallel zu zwei Widerständen Rba in Reihe. Es gilt damit für den Gesamtwiderstand

RB = (Raa + Raa)||(Rba + Rba) = 2*Raa*Rab/(Raa + Rab)

Für ein ESB siehe auch https://en.wikipedia.org/wiki/Giant_magnetoresistance#/media/File:Spin-valve_GMR.svg

Aufgabe 3b)

Für das Verähltnis RB/RA folgt durch Einsetzen

RB/RA = (2*Raa*Rab/(Raa + Rab))/((Rab + Raa)/2)

= 4*Raa*Rab/(Raa + Rab)² = 4*Raa*Rab/(Raa² + 2*Raa*Rab + Rab²)

Verwende nun (x - y)² = x² - 2y + y² >= 0 ---> x² + y² >= 2xy sodass wir den Nennen abschätzen können durch

Raa² + 2*Raa*Rab + Rab² >= 2*Raa*Rab + 2*Raa*Rab = 4*Raa*Rab

Damit folgt entsprechend

RB/RA = 4*Raa*Rab/(Raa + Rab)² <= 4*Raa*Rab/(4*Raa*Rab) = 1

--> RB <= RA

wobei aufgrund rho_parallel < rho_anti die strikte Variante

RB < RA

gilt, was zu zeigen war.

Aufgabe 3c)

Verwende das Ergebnis aus b), sodass folgt

(RA - RB)/RA = 1 - 4*Raa*Rab/(Raa² + 2*Raa*Rab + Rab²)

= [Raa² + 2*Raa*Rab + Rab² - 4*Raa*Rab]/(Raa² + 2*Raa*Rab + Rab²)

= [Raa² - 2*Raa*Rab + Rab²]/(Raa² + 2*Raa*Rab + Rab²)

= (Raa - Rab)²/(Raa + Rab)²

Klammere nun Rab sowohl aus Nenner und Zähler aus um das ganz in Abhängigkeit des Verhältnisses auszudrücken, mit

Raa/Rab = rho_parallel/rho_anti = alpha

folgt somit

(RA - RB)/RA = (Raa - Rab)²/(Raa + Rab)²

= (Raa/Rab - 1)²/(Raa/Rab + 1)²

= (alpha - 1)²/(alpha + 1)²

Die gesuchte Relative Änderung ist damit gegeben durch

(RA - RB)/RA = (alpha - 1)²/(alpha + 1)²

Aus der Bedingung von U12 folgt R1 = 150 Ohm, da die Brückenschaltung in dem Fall abgeglichen ist (R1/R2 = R3/R4 = 1 --> R1 = R2). Für den Pt100-Widersand gilt:

R(T) = R(T0)*(1 + alpha*(T - T0))

wobei per Definition T0 = 0°C (= 273,15 K) und R(T0) = 100 Ohm. Der Temperaturkoeffizient alpha ist in der Aufgabenstellung zu 0,00385 K^-1 gegeben. Durch Umtellen nach T folgt hier:

T = T0 + [(R(T)/R(T0)) - 1]/alpha = 0°C + 0.5/(0.00385 K^-1) = 129.9 °C

Damit ist also Antwortmöglichkeit (4) richtig.

Ich würde es wie folgt angehen:

1. Analysiere zunächst die Stetigkeit und Differenzierbarkeit auf (-inf, -1), (-1, 1) und (1, inf)
2. Bestimme die Ableitung der Funktion in (-1,1) und Analysiere diese hinsichtlich Stetigkeit auf (-1,1)
3. Bestimme die Ableitung in (1, inf) und (-inf, -1) und Analysiere diese hinsichtlich Stetigkeit
4. Zeige das der links- und rechtsseitige Grenzwert in x = 1 bzw. x = -1 übereinstimmen

Zu Punkt 4 siehe https://math.stackexchange.com/questions/1506273/rigorous-proof-of-continuity-at-a-if-and-only-if-left-and-right-limits-equal-fa

Das hier ist eine gute Quelle für Einsteiger:

https://dronebotworkshop.com/real-robot-003/

Hier auch noch weitere Ressourcen zu dem Thema:

https://robottini.altervista.org/how-to-choose-the-motors-for-the-robot

https://community.robotshop.com/blog/show/drive-motor-sizing-tutorial

https://maker.pro/custom/tutorial/motor-sizing-math

https://rozum.com/find-robot-motor/

Im Prinzip kommt es darauf an, was du mit deinem Roboter machen möchtest. Soll es z.B. ein mobiler Roboter sein? Soll es ein stationärer Roboter sein? Was für Lasten sollen bewegt werden und wie schnell soll dies passieren? Diese und weitere Fragen gilt es zu klären bevor du dich für einen oder mehrere Motoren entscheidest.

Die magnetische Anziehungskraft ist gegeben durch

Fmag = (B1²*A1 + B2²*A2)/(2*µ0)

Hierbei ist Ages die Gesamte Fläche des Luftspaltes und setzt sich aus der Fläche A1, dem inneren Kreis mit Durchmesser d1, und dem äußeren Kreisring mit Innendurchmesser d2 und Außendurchmesser d3 zusammen. Es folgt

A1 = pi*d1²/4

A2 = pi*(d3² - d2²)/4

Die mechanische Kraft die durch die magnetische Kraft kompensiert werden muss lautet

Fmech = m*g

Ferner beachte man, dass der herausfließende Fluss gleich dem eintretenen Fluss ist (es gibt keine magnetischen Ladungen)

--> B1*A1 = B2*A2

Damit erhalten wir durch umformen:

B1 = sqrt(m*g*2*µ0/(A1 + A1²/A2) = ca. 0,122T

Schließlich gilt es den Fluss Phi zu bestimmen. Beachte, dass dieser einmal durch A1 aus dem Joch austritt und durch A2 eintritt (bzw. anders herum, je nach Flussrichtung). Entsprechend gilt

Phi = B1*A1 = B2*A2 = 0,018Vs

https://www.wolframalpha.com/input?i=sqrt%282e3*10*2*4*pi*1e-7%2F%28%28pi%2F4%29*%2810e-2%5E2+%2B+%2810e-2%5E2%29%5E2%2F%2830e-2%5E2+-+15e-2%5E2%29%29%29%29+*+pi*0.25*10e-2%5E2

Aufgabe a)

Wende hier das Maschenstromverfahren an. Wähle die Maschen wie folgt:

M1: U1 -> Z12 -> Z23 -> U3 -> U1 (Strom I1)

M2: U2 -> Z23 -> U3 -> -> U2 (Strom I2)

M3: Z13 -> Z23 -> Z12 -> Z13 (Strom I3)

Durch die spezielle Wahl von M1, M2 und M3 gilt, dass der Maschenstrom I1 hier mit dem Strom I1 = IL1 aus dem ESB übereinstimmt, sowie IL2 = I2. Via "Brute Force" erhalten wir aus den Maschen- und Knotengleichungen:

(i) I1 = (2*U13 - U23)/Z

(ii) I2 = (2*U23 - U13)/Z

mit Ukm = Uk - Um. Wobei Z12 = Z23 = Z13 = Z. Die fetten Größen sind komplexe Größen. Wir erhalten somit für |Z| = Z:

(i) --> Z = |(2*U13 - U23)|/I1 = 3*U1/I1 = 959.1 Ohm (iii)

Ferner können wir mit (i) und (ii) die entsprechenden Scheinleistung für die Zweige bestimmen, welche durch die Watt-Meter überwacht werden. Es gilt:

(iv) P1 = Re{ S1 } = Re{ U13*conj(I1) } = (1.5*R + 0.5*sqrt(3)*wL)*(U13^2)/Z²

(v) P2 = Re{ S2 } = Re{ U23*conj(I2) } = (1.5*R - 0.5*sqrt(3)*wL)*(U23^2)/Z²

wobei für die induktive Last Z = R + j*wL gilt. Durch geschickte Addition bzw. Subtraktion von (iv) und (v) voneinander erhalten wir:

(iv) + (v) ----> (vi) P1 + P2 = 3*R*(U23^2)/Z²

(iv) - (v) ----> (vii) P1 - P2 = sqrt(3)*wL*(U23^2)/Z²

Aus (vi), (vii) und (iii) können wir dann R und wL von Z berechnen. Es folgt:

(viii) R = (P1 + P2)*Z²/(3*U23^2)

(ix) wL = (P1 - P2)*Z²/(sqrt(3)*U23^2)

und zusätzlich gilt für das Verhältnis wL/R = tan(Phi) = sqrt(3)*(P1 - P2)/(P1 + P2).

Aufgabe b)

Die gesamte von der Last verbrauchte Scheinleistung folgt direkt aus Summe der Scheinleistungen der einzelnen Zweige zu

SLast = 3*(U12^2)/(R - jwL) = 3*(U12^2)*(R + jwL)/(R² + (wL)²)

Damit folgt die von der Last verbrauchte Scheinleistung zu

QLast = Im{ SLast } = 3*(U12^2)*wL/(R² + (wL)²)

Wähle als Kompensationselemente Kondensatoren, da diese Scheinleistung bereitsstellen (negative Scheinleistung verbrauchen). Die zugehörige Impedanz ist

Zc = 1/(jwC)

Die "verbrauchte" Blindleistung des Kompensators berechnet sich damit zu

Qc = (-3)*U1²*wC

Aus der geforderten Bedingung Qc + QLast = 0 erhalten wir damit durch Umformen

wC = QLast/(3*U1²)

Beachte, dass Pc = 0, da die Kondensatoren nur Blindleistung aufnehmen und damit

Sc = j*Qc

gilt.

Aufgabe c)

Wie in b) bereits erwähnt gilt Pc = 0. Damit folgt in der Leistungsbilanz

Pges = PLast + Pc = PLast (da Pc = 0 nach unserem Design in b))

Qges = Qc + QLast = 0 (da wir das in b) so designed haben)

Schließlich folgt für PLast hier:

PLast = 3*(U12^2)*R/Z²

Hiermit können wir die Außenleiterströme berechnen. Da lediglich Wirkleistung verbraucht wird (Qges = 0) müssen die Außenleiterströme jeweils die selbe Phasenlage wie die Leiterspannungen haben. Betragsmäßig folgt

Sges = 3*U1*IL1 = PLast

--> IL1 = PLast/(3*U1) = PLast/(sqrt(3)*U12)

Aufgrund der Symmetrie gilt IL1 = IL2 = IL3. Hinsichtlich der Phasenlage folgt entsprechend

arg(IL1) = arg(U1) = 0°

arg(IL2) = arg(U2) = -120°

arg(IL3) = arg(U3) = -240°

Aufgabe d)

Rechnerisch lassen sich die neuen Außenleiterströme direkt aus dem ESB bestimmen. Es folgt:

IL1' = U1/Zc + U12/Z

IL2' = U2/Zc + U23/Z + U21/Z

IL3' = U3/Zc + U32/Z

Schreib das Feld von Polarkoordinaten und Komponenten in kartesische Koordinaten und Komponenten um. Es gilt z.B. für einen Leiter mit Position r0 = (x0; y0)^T:

rho(r, r0) = |r - r0| = sqrt((x - x0)^2 + (y - y0)^2)

e_rho(r, r0) = (r - r0)/|r - r0|

e_phi(r, r0) = (-(y - y0); x - x0)^T / |r - r0|

wobei man sich die Zusammenhänge über de_rho/dPhi = e_phi und rho*cos(phi) = x - x0 und rho*sin(phi) = y - y0 leicht merken bzw. herleiten kann.

Für die magnetische Feldstärke H(r, r0) eines einzelnen durchflossenen Leiters mit Strom I und Position r0 erhalten wir somit

H(r, r0) = (I/(2pi)) * (y - y0; -(x - x0))^T / |r - r0|²

Die "fetten" Größen sind dabei vektorielle Größen.

A4.2.2)

Die Reluktanz ist im allgemeinen Proportional zur durchflossenen Länge. Die durchflossene Eisenlänge der linken Hälfte verändert sich bei Verschiebung um x zu

Lfe,links(x) = Lfe,links(0) + 2*x

Entsprechend folgt aus R ~ L hier entsprechend

Rfe,links(x) = Rfe,links(0)*(Lfe,links(x)/Lfe,links(0))

Einsetzen ergibt damit

Rfe,links(x) = Rfe,links(0)*(1 + 2*x/Lfe,links(0) )

Analog folgt für die rechte Seite

Rfe,rechts(x) = Rfe,rechts(0)*(1 - 2*x/Lfe,rechts(0) )

Mit Lfe,links(0) = Lfe,rechts(0) = 2*(a/2 + b/2 + c + b/2) = a + 2b + 2c erhalten wir somit

Rfe,links(x) = 600kA/(Vs) * (1 + 2*x/(50cm)) = 600kA/(Vs) * (1 + 4*x/m)

Rfe,rechts(x) = 600kA/(Vs) * (1 - 2*x/(50cm)) = 600kA/(Vs) * (1 - 4*x/m)

Für die Gesamtreluktanz ergibt sich somit analog wie zuvor

Rges = Rm,mi + (Rm,L + Rfe,links(x))||(Rm,L + Rfe,rechts(x))

--> Rges = 8,8 MA/(Vs) - 0,514 MA/(Vs) * (x/m)²

A4.2.4)

Die Flussdichte ist uns aus 4.2.3 bekannt und lässt sich den Lösungen entnehmen. Im magnetischen Ersatzschaltbild wird nun eine zusätzliche magnetische Spannungsquelle eingefügt mit Quellspannung Vq = N*I im rechten Parallelzweig. Aus der Annahme, dass sich die Gesamtreluktanz nicht verändert können wir uns bei der Berechnung von BL etwas Arbeit sparen durch Anwendung des Superpositionsprinzips. Den Beitrag durch den Permanentmagneten haben wir schon bestimmt. BL setzt sich Additiv durch den Beitrag des Permanentmagneten und der Spule zusammen. Für die Berechnung des Beitrages durch die Spule bestimme zunächst den Fluss durch den linken Luftspalt, der durch die Spule verursacht wird. Hierzu ersetze alle Spannungsquellen durch Kurzschlüsse und alle Stromquellen durch offene Klemmen, gemäß des Verfahrens der Superposition. Bestimme schließlich den Fluss und damit den Beitrag der Spule zu BL links. Für die Bestimmung des Stromes mache von der Bedingung gebrauch, dass B(x) = B = 0 gelten soll und Forme nach I um.

Sollte hinsichtlich der Lösung für 4.2.4 noch Unklarheiten bestehen, dann kommentiere einfach und dann rechne ich dir das morgen vor.

Für den Gesamtstrom musst du J über die durchflossene orientierte Querschnittsfläche integrieren. Es gilt:

I = int[A]{ J dA }

Es folgt hier:

I = int[0, a][0, b]{ (3 + y/b)*k0*U/L dydx } = a*k0*(U/L)*{(3 + b/b)²*b*0,5 - (3 + 0/b)²*b*0,5}

--> I = a*k0*(U/L)*(7b)/2

die gesuchte Stromstärke ...

Es gelten die Identitäten:

(i) sin(x) = sin(pi - x)

(ii) cos(x) = cos(2pi - x)

wobei letztere auch als cos(--x) = cos(x) geschrieben werden kann, wenn als Definitionsbereich nur [0, 2pi) betrachtet wird. Wieso diese gelten sieht man am einfachstem über die Definitionen am Einheitskreis:

https://math.libretexts.org/Bookshelves/Precalculus/Precalculus_1e_(OpenStax)/05%3A_Trigonometric_Functions/5.02%3A_Unit_Circle_-_Sine_and_Cosine_Functions

https://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus#Definition_am_Einheitskreis

Oder Alternativ auch direkt am Funktionsgraphen:

https://de.serlo.org/mathe/1909/sinusfunktion-und-kosinusfunktion

Beachte dabei das (i) aus (ii) und umgekeht folgt über den Zusammenhang

(iii) sin(x + pi/2) = cos(x) bzw. sin(x) = cos(x - pi/2)

zwischen sin und cos und der 2pi-Periodizität. So folgt z.B. aus (i):

sin(x) = sin(pi - x)

--> cos(x - pi/2) = cos(pi - x - pi/2)

--> cos(y) = cos(pi - y - pi/2 - pi/2) = cos(-y) mit x = y + pi/2

--> cos(y) = cos(2pi - y)

was (ii) entspricht.

Es gelten folgende Beziehungen, die sich durch ausmultiplizieren verifizieren lassen:

(i) z * conj(z) = |z|^2

(ii) z + conj(z) = 2*Re(z)

(iii) z - conj(z) = 2i * Im(z)

Mit z = a + i*b gilt dabei:

conj(z) = a - i*b

Re(z) = a

Im(z) = b

Damit lässt sich deine Aufgabe einfach lösen ...

Ich gebe dir einen Tipp:

Geometrische Summenformel:

sum(k, 0, N){ q^k } = (1 - q^(N+1))/(1 - q)

für q ungleich 1. Kannst du die Summe auf die gezeigte Form bringen?

Die induzierte Spannung in einer Spule berechnet sich über die Ableitung des verketten Flusses Psi zu

dPsi/dt = Uind

Der verkette Fluss einer Spule mit N Windungen bestimmt sich über die Summe des magnetischen Flusses Phi durch die einzelnen Windungen

Psi = Phi_1 + ... + Phi_N

In unserem Fall können wir vereinfachend annehmen, dass alle Windungen den selben Querschnitt haben und von der selben magnetischen Flussdichte durchsetzt sind. Damit ergibt sich der Zusammenhang

Psi = N*Phi

mit magnetischem Fluss Phi durch eine einzelne Windung. Der magnetische Fluss Phi durch eine Windung mit Querschnittsfläche A senkrecht zur homogenen magnetischen Flussdichte B berechnet sich zu

Phi = A*B

Zusammenfassend erhalten wir also:

Uind = dPsi/dt = N*dPhi/dt = N*A*dB/dt

Die Leistung die die Spannungsquelle 3 abgibt berechnet sich zu:

P03 = U03*(-I3)

Damit folgt der Strom I3 zu

I3 = (-P03)/U03

Durch Einsetzen in die Gleichung aus d) erhalten wir wieder ein Gleichungssystem mit 2 Unbekannten I6 und I04 welches wir nach I04 lösen können. Es gilt somit zu lösen:

[R2            -R2-R5]*[I04] = [-U03-(R2+R3+R5)*I3]
[R1+R2    R1+R2+R5+R6] [ I6]   [-U06+(R2+R5)*I3   ]

Invertieren der Matrix liefert dann das Ergebnis ...