Man kann es via Brute-Force ausprobieren:
x(t) = -2t*exp(t)*cos(3t)
dx/dt = -2 exp(t) ((1 + t) cos(3 t) - 3 t sin(3 t))
d²x/dt² = 4 exp(t) (3 (1 + t) sin(3 t) + (4 t - 1) cos(3 t))
d³x/dt³ = 4 exp(t) ((13 t + 12) cos(3 t) - 9 (t - 1) sin(3 t))
d^4/dt^4 = -8 exp(t) (6 (4 t + 3) sin(3 t) + (7 t - 26) cos(3 t))
Bestimme die Koeffizienten A, B, C, D so, dass gilt:
d^4/dt^4 + A*d³x/dt³ + B*d²x/dt² + C*dx/dt + D*x(t) = 0
Dies können wir einfach über einen Koeffizientenvergleich erreichen. Es gilt bei Betrachtung der Cosinus-Anteile:
(i) (-8)*(7 t - 26) + 4(13 t + 12)*A + 4(4 t - 1)*B - 2(1 + t)*C - 2t*D = 0
--> t (26 A + 8 B - C - D - 28) = -24 A + 2 B + C - 104
Und entsprechend bei Betrachtung der Sinus-Anteile:
(ii) (-8)*6 (4 t + 3) - 36 (t - 1)*A + 12 (1 + t)*B + 6t*C = 0
--> t (6 A - 2 B - C + 32) = 6 A + 2 B - 24
Hieraus erhalten wir insgesamt 4 Gleichungen für 4 Unbekannte:
(iii) 26 A + 8 B - C - D - 28 = 0
(iv) -24 A + 2 B + C - 104 = 0
(v) 6 A - 2 B - C + 32 = 0
(vi) 6 A + 2 B - 24 = 0
Addition von (iv) und (v) liefert
(vii) -18A -72 = 0 --> A = -4
Aus Addition von (v) und (vi) folgt mittels Einsetzen von (vii)
(viii) 12A - C + 8 = 0 --> C = -40
Einsetzen von (vii) in (vi) liefert
(ix) -24 + 2 B - 24 = 0 --> B = 24
Und damit schließlich durch Einsetzen von (vii), (viii) und (ix) in (iii)
(x) 26 A + 8 B - C - 28 = D --> D = 100
Damit ist das gegebene x(t) eine Lösung der Gleichung:
d^4x/dt^4 + (-4)*d^3x/dt^3 + 24*d^2x/dt² + (-40)*dx/dt + 100*x(t) = 0
wie man auch hier gerne zu verifizieren vermark:
https://www.wolframalpha.com/input?i=d%5E4x%2Fdt%5E4+%2B+%28-4%29*d%5E3x%2Fdt%5E3+%2B+24*d%5E2x%2Fdt%C2%B2+%2B+%28-40%29*dx%2Fdt+%2B+100*x%28t%29+%3D+0
-> Siehe dort unter "Differential equation solution" den letzten Anteil der Lösung "c_4 e^t t cos(3 t)", der exakt der gewollten homogenen Lösung entspricht.
Als Alternative hier noch den cleveren Ansatz mit weniger Rechnen:
Führe eine Laplace-Transformation von x(t) durch
--> X(s) = L{ -2t*exp(t)*cos(3t) } = 2* d/ds L{ exp(t)*cos(3t) }
mit L{ exp(t)*cos(3t) } = (s - 1)/((s - 1)^2 + 9) folgt entsprechend
--> X(s) = 2* d/ds ((s - 1)/((s - 1)^2 + 9)) = (-2)* (s^2 - 2 s - 8)/(s^2 - 2 s + 10)^2
Die gesuchte homogene DGL muss somit eine charakteristische Gleichung enthalten, die die Pole aus (s^2 - 2 s + 10)^2 enthält. Wähle also einfach als charakteristisches Polynom genau dieses. Es folgt:
s^4 - 4 s^3 + 24 s^2 - 40 s + 100 = (s^2 - 2 s + 10)^2
wobei die Koeffizienten genau mit denen aus dem Brute-Force Verfahren übereinstimmen. Die zugehörige DGL lautet somit:
d^4x/dt^4 + (-4)*d^3x/dt^3 + 24*d^2x/dt² + (-40)*dx/dt + 100*x(t) = 0
wie wir sie zuvor auch schon bestimmt hatten.
