Logarithmen vereinfachen?
Warum ist das Ergebnis 3/5? Kürzt sich das log und die 2 a?
6 Antworten
log_a (b) ist genau die Zahl, mit der Man die Basis a potenzieren muss, damit b herauskommt.
Zum Beispiel log_2(8) ist 3, denn 2^3=8.
Hier ist also die Frage, mit welcher Zahl müssen wir die Basis a potenzieren, damit a^(3/5) herauskommt? Offensichtlich ist das genau 3/5.
Man kann das auch mithilfe eines Rechengesetzes sehen, es gilt nämlich
log_a(b^k) = k*log_a(b)
Man kann also bei einer Potenz, die im Logarithmus steht, den Exponenten "nach vorne ziehen.
In unserem Fall wäre also log_a (a^(3/5)) nach dieser Regel gleich 3/5*log_a (a) und, nachdem log_a (a) = 1 ist, bleibt auch wieder 3/5 übrig.
Der Logarithmus ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion mit gleicher Basis. D.h.
log_a(a^x) = x
für alle x in R
Aber in diesem Fall ist das b=a^3/5 und das muss doch das Ergebnis sei n (a^3/5).
Es gilt ja: a^x=b <-> x=log_a b
Der Logarithmus ist der Exponent. Da hier eine Potenz gegeben ist a^(3 / 5) und der Logarithmus zu genau dieser Basis a gefragt ist, kann das nur 3 / 5 sein.
Vergleiche:
a^x = b ⇔ x = log_a b
hier:
a^(3 / 5) = a^(3 / 5) ⇔ 3 / 5 = log_a a^(3 / 5)
Mit einem Logarithmus rechnest du das x ja eben aus. BSP: 3^x = 5 => x = log_3 (5)
Geschrieben: Mit was muss ich drei potenzieren, um fünf zu erhalten. Und das rechnest du eben mit einem Logarithmus aus.
Kürzen tut sich da nichts.
Es heben sich der Logarithmus und die Exponentialfunktion heben einander auf.
Wie meinen Sie das?
Hat das was mit der Formel zu tun?
a^x=b <-> x=log_a b
Ja. Mit anderen Worten:
log_a b bedeutet: a hoch welche Zahl ergibt b?
In deinem Beispiel:
log_a a^⅗ bedeutet: a hoch welche Zahl ergibt a^⅗?
Die Antwort ist hier natürlich ⅗
Eine Formel zum Rechnen mit dem Logarithmus lautet:
d. h. du kannst den Exponenten vor den Logarithmus ziehen. Dann bleibt in deinem Fall:
Und es gilt Denn es ist ja
Erstmal danke!
Aber folgendes verstehe ich nicht:
a^x = b ⇔ x = log_a b
-> Ich habe log_a b gegeben und möchte das x sozusagen wissen. Aber um das x herauszufinden, muss ich a^x wissen. Das a in dieser Formel ist in diesem Fall zufällig auch a. Aber ich weiß ja das hoch x nicht und kann ja somit nicht wissen, was x denn nun ist???
Ich würde mich sehr um eine Rückmeldung freuen!!!