Lineare funktion formel?
Was bedeutes diese formel bzw. könnt ihr es mir bitte erklären.
6 Antworten
Diese Formel beschreibt, wie man die Steigung einer Geraden berechnet, wenn man zwei Punkte gegeben hat. Mit Δ (griechisch: Delta) wird eine Differenz beschrieben. Die Formel meint dann gesprochen in etwa:
Die Steigung einer Geraden ist der Quotient aus Differenz der y-Werte von zwei gegebenen Punkten und der Differenz ihrer x-Werte.
Hallo,
wenn Du eine Gerade in ein Koordinatensystem einzeichnet, bildet sie überall den gleichen Winkel zur x-Achse.
Daher reichen, um ihre Steigung zu bestimmen (den Tangens des Winkels zwischen Gerade und x-Achse), zwei beliebige Punkte auf der Geraden aus.
Sagen wir, es handelt sich um die Punkte (2|3) und (5|7).
Wenn Du von Punkt (5|7) eine senkrechte Linie ziehst, die von der Höhe 7 Einheiten oberhalb der x-Achse bis zur Höhe 3 Einheiten bis zur x-Achse geht und von Punkt
(2|3) aus eine waagerechte Linie, die von 2 Einheiten Abstand zur y-Achse bis zu 5 Einheiten von der y-Achse reicht, dann bekommst Du zusammen mit der direkten Verbindung zwischen den beiden Punkten, also dem Stück von der Geraden, das zwischen ihnen liegt, ein sogenanntes Steigungsdreieck, das rechtwinklig ist, denn die beiden Linien, die Du gezogen hast, sind Parallelen zur x- und zur y-Achse und stehen daher senkrecht aufeinander.
Die senkrechte Linie hat nun die Länge 7-3=4 Einheiten - Du ziehst die y-Kooordinate des tiefergelegenen Punktes von der y-Koordinate des höhergelegenen ab; die waagerechte Linie hat eine Länge von 5-2=3 Einheiten, also x-Koordinate des weiter rechts liegenden Punktes minus x-Koordinate des weiter links liegenden.
Den Unterschied zwischen den beiden y-Koordinaten nennt man nun auf Schlau Delta y (Delta, das griechische D, für Differenz), den Unterschied zwischen den beiden x-Koordinaten nennt man Delta x.
Der Tangens des Winkels zwischen der Geraden und der Parallellinie zur x-Achse ist nun das Verhältnis von Gegenkathete (Delta y) zu Ankathete (Delta x), mithin
Delta y/Delta x. Das ist aber nichts weiter als die Steigung der Geraden, die meist mit dem Buchstaben m bezeichnet wird.
Für die Bestimmung dieser Steigung ist es unerheblich, ob Du die Koordinaten von Punkt 1 von denen von Punkt 2 abziehst oder umgekehrt. Wichtig ist nur, daß Du für die x-Werte die gleiche Reihenfolge wählst wie die y-Werte, sonst bekommst Du ein Ergebnis mit falschem Vorzeichen.
Grundsätzlich hat eine waagerecht verlaufende Gerade die Steigung 0 (Delta y=0, Delta x beliebig, abhängig von den gewählten Punkten auf der Geraden); eine Gerade, die von links nach rechts ansteigt, hat eine positive Steigung; eine Gerade, die von links nach rechts abfällt, hat eine negative Steigung.
Je größer der Absolutbetrag der Steigung, desto steiler steigt das Ding entweder an bei positivem Vorzeichen und desto steiler fällt es ab bei negativem Vorzeichen.
Delta y durch Delta x nennt man übrigens auch Differenzenquotient, weil es der Quotient zweier Differenzen ist. Bei krummlinigen Graphen läßt man die beiden gewählten Punkte unendlich nah aneinanderrücken, um die Steigung (die sich bei Kurven ja überall ändert im Gegensatz zur Geraden) an einer bestimmten Stelle zu bestimmen.
Wenn Delta y und Delta x gegen Null gehen (ohne wirklich Null zu werden), wird aus dem Diffenzenquotient Delta y/Delta x der Differentialquotient dy/dx, mit dem Du es bei der Differential- und Integralrechnung zu tun bekommst.
Bei einer Geraden gibt es zwischen dem Differenzenquotienten und dem Differentialquotienten keinen Unterschied, weil sie ja eine konstante Steigung hat.
Herzliche Grüße,
Willy
Das Dreieck ist der 4. griechische Buchstabe "Delta" und bedeutet in diesem Zusammenhang "Differenz".
Das m steht für die Steigung. D. h. die Steigung einer linearen Funktion erhält man, indem man sich 2 Punkte nimmt und die Differenz der y-Werte durch die Differenz ihrer x-Werte teilt.
Evtl. hast Du auch sowas schon gelesen:
P1(x1|y1); P2(x2|y2) => m=(y2-y1)/(x2-x1): im Zähler steht die Differenz der y-Werte und im Nenner die der x-Werte der beiden Punkte P1 und P2.
Die Steigung ergibt sich aus der Differenz zweier y-Werte durch die Differenz zweier x Werte, analog zum Steigungsdreieck.
Delta steht immer für Unterschied (oder Differenz, je nach Sichtwrise). Du dividierst also den Unterschied von y-Werte durch den von x-Werten von zwei Punkten auf der Geraden, um die Steigung zu erhalten.
Ausgeschrieben (y2 - y1)/(x2 - x1).