Limes von?

Also hier steht, der Limes von tan(x/2) bei x --> π sei 1

Wie kommt man darauf? Bei tan(π/2) ist ja ein Unstetigkeitspunkt. Wie kann ich annäherend den Limes denn herausfinden?

Answer 1

[LoverOfPi]

$_{x\rightarrow\pi}^{\lim}\left(x-\pi\right)\tan\left(\frac{x}{2}\right)≙0\cdot\infty$ $≙\ _{x\rightarrow\pi}^{\lim}\frac{x-\pi}{\frac{1}{\tan\left(\frac{x}{2}\right)}}≙\frac{0}{0}$ Also können wir L'Hospital anwenden.

$≙_{x\rightarrow\pi}^{\lim}\frac{1}{\frac{1}{\cos\left(x\right)-1}}=\frac{1}{\frac{1}{\cos\left(\pi\right)-1}}=\frac{1}{\frac{1}{-1-1}}=\frac{1}{\frac{1}{-2}}=-2$ Da ist in der Musterlösung ein Fehler.

Es gilt natürlich:

$\frac{d}{dx}\frac{1}{\tan\left(\frac{x}{2}\right)}=-\frac{1}{\tan\left(\frac{x}{2}\right)^2}\cdot\frac{1}{2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)}=-\frac{1}{\frac{\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)}{\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)}}\cdot\frac{1}{2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)}$ $=-\frac{1}{2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)}=-\frac{1}{1-\cos\left(x\right)}=\frac{1}{\cos\left(x\right)-1}$

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Ich studiere Mathematik im zweiten Semester

Comments

[weltpizzatag]

Wie konntest du die formeln formatieren?(falls latex wie kann man es einbauen?)

[LoverOfPi]

@weltpizzatag

Ja, mit Latex. Es gibt dafür den Formeleditor, da, wo man auch Zitate einfügt.

Answer 2

[Halbrecht]

Ja , irgendwas ist das faul