Unendlichkeiten gleich - Analogie zu Hilbert?
Hallo liebe Freunde der Mathematik,
Bei mathematischen Blödeleien stieß ich auf die Funktion floor(|sin(x)|). Also der Betrag ses Sinus, aber auf die nächstkleinere ganze Zahl abgerundet. Da der Sinusbetrag nur Werte zwischen 1 und 0 annimmt, lassen sich hier zwei jeweils unendlich mächtige Mengen definieren:
M1{x: floor(|sin(x)|)=1}
Diese Menge ist unendlich groß und erfüllt für alle x=(2k+1)/2*π.
M2{x:floor(|sin(x)|)=0}
Diese Menge ist unendlich groß für alle x≠(2k+1)/2*π.
Die erste Menge ist relativ offensichtlich abzählbar zu den natürlichen Zahlen, da man jedem x0 eine natürliche Zahl zuordnen kann und andersherum.
Da ich aber jedem x0 aus M1 nur ein x0 aus dem jeweils schräg links unterem Bereich aus M2 zuordnen kann, muss M2 doch eine größere Unendlichkeit als M1 und damit überabzahlbar bzgl. den natürlichen Zahlen sein.
Stimmt diese Argumentation? Ist floor(|sin(x)|) damit eine Analogie zu Hilberts Überlegungen an sich?
Vielen lieben Dank für Antworten und eure Aufmerksamkeit :)
1 Antwort
Zunächst, ja M2 ist offensichtlich überabzählbar. Es ist ja bereits [0, 1] überabzählbar und es ist offensichtlich [0, 1] c M2.
Deine Argumentation ist aber nicht schlüssig, genauer verstehe ich nicht mal was du meinst. Auch bei der Zuordnung von N nach Q wird jeder natürlichen Zahl nur ein Bruch zugeordnet. Nebenbei gibt es kein "abzählbar zu den natürlichen Zahlen", lediglich ein "abzählber" (d.h. gleich mächtig wie N) oder ein "überabzählbar" (mächtiger als N).
Und nein, es ist keine "Analogie zu Hilberts Überlegung an sich". Die Begrifflichkeit der abzählbaren Mengen und der Beweis dass Q abzählbar ist und R überabzählbar stammt von Georg Cantor. Hilbert hat sich mit Hilberts Hotel lediglich um eine möglichst anschauliche Darstellung des Themas bemühlt.
Ich empfehle dir dringend, dich in der "formalen Formulierung" zu üben. Das wird leider in der Schule nicht ausreichend gelehrt, im Gegenteil, da wird viel zu viel durchgehen gelassen. Dieses Buch
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kann dir dabei helfen Klarheit in die mathematische Formulierung zu bringen.
Das letzte war mir bewusst. Ich wollte ja auch darauf hinaus. Eben eine weitere Möglichkeit der Darstellung finden. Wie Hilbert. Ich kenne mich mit der ganzen Thematik auch noch nicht sehr gut aus. Deshalb die formalen Fehler. Gemeint war es, wie du es formuliert hast. Das sind alles Gedanken, die in einem noch sehr jungen, unwissendem Mathematikgehirn entstehen und raus wollen. Danke für deine Erläuterung :)