Leere Menge abbilden?
Wenn ich eine leere menge auf eine leere menge abbilde kann diese dann injektiv,surjektiv oder bijektiv sein?
4 Antworten
Ja.
Zunächst einmal hast du ja
f: {} -> {}.
Das sieht erstmal doof aus, aber das macht nix. Schließlich können wir das ja anhand der Definition von "Abbildung" überprüfen:
Eine Abbildung f von A nach B ist eine Teilmenge von AxB, so dass gilt: Für alle x aus A existiert genau eine y aus B (genannt f(x) ) mit (x,y) Element dieser Teilmenge.
Mehr braucht es nicht.
So. AxB = {}x{} hat genau eine Teilmenge - und die ist auch wiederum leer. Macht aus nix: Jetzt überprüfe ich die Eigenschaft...
Für alle x aus A... ups, da sind ja keine drin, also ist die Aussage immer wahr, egal was da noch folgt. (Das ist so, als ob ich bei einem leeren Zimmer sage "Alle Frauen in diesem Zimmer haben blaue Haare" - stimmt, ist aber trotzdem sinnlos).
Also ist das schon mal eine Abbildung. Und jetzt geht es weiter:
Surjektiv: Für alle y aus B existiert ein x aus A mit f(x) = y. Ach ja, B ist auch leer, also ist auch diese Aussage immer richtig -> surjektivitiät ist also auch gegeben.
Und so geht es weiter.
Ja. Auch da gilt: Eine Abbildung ist eine Teilmenge des Kreuzprodukts mit der Eigenschaft ... usw.
Das heißt: f:{} -> B, B ungleich leer.
Teilmenge von {}xB ist allerdings schon wieder leer (weil das Kartesische Produkt an dem eine Menge beteiligt ist, wiederum leer ist).
Macht aber so rum nix, denn: Auch hier finde ich FÜR ALLE x aus {} ein y aus B, was auch immer ich will, ich muss ja nix finden, weil ich kein x habe.
Also ist das eine Abbildung. Bei den anderen Sachen wird es aber lustig: surjektiv wäre die ja nur, wenn ich für jedes y aus B auch was in A finde -> aber das klappt nicht. Injektiv dagegen ist wiederum keine Problem.
Auf die leere Menge abbilden dagegen schaffe ich nicht, wenn nicht auch A leer ist.
wenn ich jetzt aber herausfinden möchte wie viele möglich abbildungen ich damit erreichen kann wie mache ich das denn? also z.b. leere menge auf leere menge. wie viele abbildungen habe ich davon oder wenn ich die leere menge auf eine menge mit 3 zahlen abbilde. woher weiß ich dann wie viele möglichkeiten ich habe?
Jede Abbildung entspricht einer Teilmenge von AxB. Wenn A die leere Menge ist, ist AxB auch die leere Menge. Wie viele Teilmengen hat denn nun die leere Menge? Eine. Also gibt es auch nur eine Abbildung - völlig unabhängig davon, wie viele Elemente B hat. Du musst dich frei machen von der konkreten Vorstellung, was eine Abbildung hier wirklich macht und ganz eng bei den Definitionen bleiben.
okay und wenn ich eine leere menge auf eine andere menge abbilde oder eben auch auf eine leere menge ist es injektiv aber nicht surjektiv und was ist mit bijektiv?
Bijektiv heißt surjektiv und injektiv. Wenn die Abbildung also nicht surjektiv ist, ist sie auch nicht bijektiv.
Aber wenn B auch leer ist, dann ist die Abbildung ja auch surjektiv.
Also:
f: {} -> {}: surjektiv, injektiv, bijektiv
f:{}-> B, B nicht leer: injektiv, nicht surjektiv, nicht bijektiv
f:A -> {}, A nicht leer: nix mit Abbildung, weil die Elemente von A ja kein Bild haben.
okay alles klar vielen lieben Dank
Es gibt keine Elemente in beiden Mengen, die den Anforderungen widersprechen können. Eine Folgerung ist auch dann wahr, wenn die Prämisse nicht erfüllt wird. In diesem Fall x Element M.
Ich sage nicht, dass die Paar aus nix nix bestehen kann, ich sage: Das Kartesische Produkt ist hier die leere Menge und hat keine Elemente.
Meinst du die
leere Menge als Teil einer Menge
oder
eine leere Menge ohne Elemente ?
Grundsätzlich erlauben Abbildungen nur die "Verbindungen" von Elementen aus zwei Mengen.
C auf C abbilden heißt die Elemente aus C mit denen aus C zu verbinden . Welche Elemente sollen das sein ?
{ Ø} x { Ø } wäre m.E denkbar , aber ohne Inhalt in den Mengen keine Abbildungen.
also ist nicht einmal die Abbildung ans sich möglich?
Doch. Einfach an den Definitionen langhangeln. Die Mengen müssen nix enthalten. Schwierig wird dann, wenn nur eine Seite die leere Menge ist, dann bekomme ich das zwar mit der Abbildung noch hin, aber die Injektivität/Surjektivität ist nicht mehr da, je nachdem, welche Menge leer ist.
Warum nicht? Es mag zwar nicht sinnvoll erscheinen, aber die Definition von Abbildungen lässt das durchaus zu.
Korrektur: Die Bildmenge darf bei nichtleerer Definitionsmenge natürlich nicht leer sein.
Das es nicht sinnvoll sein muß ist mir einsichtig, das ist eben Mathematik :)) das du über die Definition argumentierst sehe ich ein.
Mein Gedankengang war folgender : Eine Relation ist dieTeilmenge eines kartesischen Produkts......... ein kP ist menge der geordneten Paare .............und du sagst , ein Paar kann auch aus : ( nix nix ) bestehen...........aber die leere Menge als Teil der Potenzmenge wollte und will mir auch nicht so richtig in den Kopf :))
heißt das denn ich kann eine leere menge auch auf andere mengen außer auf die leere menge abbilden?