Bijektive Abbildung R^m -> R^n , m,n € N und m>n?
Der Titel sagt es bereits: Kann ich ein Intervall sagen wir von [0,1]^2 auf [0,1] bijektiv abbilden? Die Kardinalität der Menge die dem Intervall von [0,1]^2 entspricht ist im Raum der reelen Zahlen ja deutlich größer, also wird eine injektive Abbildung schwierig. Stimmt das so? Oder kann man das noch irgendwie anders mathematisch ausdrücken? Wir hatten über Raumfüllende Kurven gesprochen, die sind surjektiv aber eben nicht injektiv.
2 Antworten
Die Kardinalität von [0,1] und [0,1]² ist die gleiche. Eine bijektive Abbildung ist möglich!
Wenn Du [0,1]² bijektiv auf [0,1] abbilden willst, nutzt Du die Darstellung als unendlichen Dezimalbruch.
Der R^2 ist zum R gleichmächtig. Also ja, kannst du. Das Komplizierte ist, wie.
Mhhh, okay. Wir haben in einem Satz notiert, dass es keine bijektive stetige Abbildung [0,1] -> [0,1]^2 gibt, also geht das doch? Ich kann den Satz nicht so richtig nachvollziehen.
Eine Bijektion gibt es, dass sie stetig sein soll, ist hier das Problem. Ich bin ehrlich, ich bin auch nicht komplett in dem Thema drinne, als Zweitsemesterstudent, aber ich denke das hat damit zu tun, dass man, soweit ich weiß, [0,1] nicht bijektiv und stetig auf den Einheitskreis abbilden kann.
Ist nicht kompliziert. Du must nur zwei unendliche Dezimalbrüche ineinander verschachteln.