Wozu bracht man injektiv, surjektiv oder bijektiv
Hallo, ich habe deute in Mathe die Begriffe : Injektiv, surjektiv und bijektiv. Die Eigenschaften habe ich verstanden aber wozu bracht man wirklich ?. Um eine Funktion besser zu analysieren oder anders ?
Vielenk für eure Aufmerksamkeit.
3 Antworten
das sind eben charakterisierungen von funktionen. je mehjr "eigenschaften" eine funktion hat, desto mehr kann man damit auch anstellen.
mit einer injektiven funktion kannst du zB eine äquivalenzumformung machen. deshalb darfst du zum gleichungen lösen auch den logarithmus und die exponentialfunktion verwenden.
beispiel: e^x = 1 <=> log(e^x) = log(1) <=> x=0
dafür braucht man KEINE bijektive funktion, aber das ist auch nicht verweunderlich, da injektive funktionen leicht als bijektive funktionen aufgefasst werden können, wenn man den zielraum der funktion der wertemenge gleichsetzt.
surjektive funktionen sind wichtig für lösbarkeit von gleichungen. wenn eine funktion f surjektiv ist, dann kann man für jedes a die gleichung f(x)=a lösen. (evtl. gibt es mehrere lösungen, da die injektivität fehlt)
beispiel: sin(x) * x = pi/2 hat garantiert eine lösung, evtl. sogar mehrere, da diese funktion für x gegen unendlich mit immer größer werdender amplitude oszilliert, also sowohl beliebig groß als auch belibig klein wird. zudem ist sie stetig, es gibt also alle werte zwischen den "großen" und "kleinen" werten auch. (ich meine die punkte in der mimmtte zwischen 2 aufeinanderfolgenden extrema (je ein maximum und minimum))
die lösungen sind natürlich nicht so einfach zu bestimmen... man kann auch keine äquivalenzumformung machen (da sin(x) nicht injektiv ist).
was besseres ist mir für schüler nicht eingefallen...
Vielen Dank für deine Antwort, dafür habe ich einige Idee, sehr hilfreich <3
Die Injektivität ist die charakteristische Eigenschaften von Funktionen. Wenn du dasselbe reinsteckst, kriegst du jedesmal dasselbe raus.
Die Surjektivität ist mir meistens im Zusammenhang mit der Bijektivität begegnet, wozu man sie einzeln braucht, fällt mir gerade kein Beispiel ein.
Die Bijektivität charakterisiert eine umkehrbare Funktion, d. h. aus dem, was hinten rauskommt, kann man auf das schließen, was vorne reingesteckt worden ist.
Es gibt dazu gute Videos auf Youtube, da versteht man das eigentlich. Ich hab das das letzt Mal für Kryptographie gebraucht, ist dazu nicht ganz unwichtig, aber für Funktionen haben wir das in der Schule glaube ich nicht gebraucht. Hättest du ne Aufgabe in der das verlangt ist? Ich kann mir grade dazu nichts vorstellen, was man in der Schule gescheit machen könnte...
Leider habe ich keine Aufgabe, meine Lehrerin hat wir empfehlt, dass wir kleine Vortrag, die über Injektivtät usw trefft. Aber ich finde das nicht sinnvoll nur, weil man ganz nicht viel benutzt.