Injektivität und Surjektivität von Kompositionen?
Ich weiß:
(1)g◦f ist injektiv, falls f und g injektiv sind
(2)g◦f ist surjektiv, falls f und g surjektiv sind.
(3)Wenn g◦f injektiv ist, so ist f injektiv.
(4)Wenn g◦f surjektiv ist, so ist g surjektiv.
Nun habe ich die Aufgabe: Ist g◦f injektiv, surjektiv? g◦f:N->N
f ist injektiv, aber nicht surjektiv (N->Z)
g ist surjektiv, aber nicht injektiv (Z->N)
Kann ich nun mit (3) und (4) sagen, dass g◦f injektiv und surjektiv ist? Also reicht das als Begründung oder muss ich mich mehr auf die Funktion beziehen (was in diesem Fall eigentlich nicht so schwer ist( g(f(x)) = |(-1)^x * x| )
Denn ich bin mir sicher, dass g(f(x)) injektiv und surjektiv ist.
Als nächste Aufgaben wäre das gleiche mit f◦g, was f(g(x)) = (-1)^|x| * |x| wäre Z->Z und das wäre keins von beiden, also kann man das auch mit (3) und (4) begründen? Ich bin mir nicht so sicher, weil (3) und (4) als Implikationen formuliert sind und nicht als Äquivalenzen
1 Antwort
(3) und (4) sind in der Tat nur Implikationen. Wenn g◦f injektiv ist, dann ist auch f injektiv. Deswegen kannst du damit aus der Injektivität von f auch nicht die Injektivität von g◦f folgern. Im Allgemeinen gilt diese Umkehrung auch überhaupt nicht:
Betrachte die reellen Funktionen f(x) = x und g(x) = x². Hier ist offenkundig f injektiv, aber g◦f = g ist nicht injektiv.
Du kannst (3) und (4) aber verwenden, um zu zeigen, dass eine Komposition nicht injektiv bzw. surjektiv ist. Z.B. (3) ist äquivalent zu der Aussage:
Wenn f nicht injektiv ist, dann ist auch g◦f nicht injektiv.