Kern einer nicht-quadratischen Matrix?
Hallo,
sagen wir mal ich habe eine 3x2-Matrix, nennen wir sie A.
Für den Kern muss ja Ax=0 gelten. Ist das dann ein Vektor x derat, dass x=(u,v,w)? Wie geht das in diesem Fall?
5 Antworten
Es geht genau so wie mit einer nxn-Matrix. Der Vektor x = (u, v) (zweidimensional!) wird auf einen Vektor y = (r, s, t) abgebildet. Du löst das Gleichungssystem Ax = 0.
Ja, wenn Elemente im Kern existieren, sind das (hier zweidimensionale!) Vektoren.
Letztlich ist der Kern doch nur der Lösungsraum des dadurch induzierten homogenen Gleichungssystems. Hast du eine 3x2-Matrix, induziert diese ein Gleichungssystem mit zwei Variablen und drei Gleichungen.
Dieses ist entweder nicht lösbar, dann ist
oder eindeutig lösbar, dann ist
(denn der Nullvektor löst jedes lösbare homogene Gleichungssystem und wenn die Lösung eindeutig ist, ist die Lösung genau der Nullvektor - mit anderen Worten: die durch die Matrix induzierte lineare Abbildung ist injektiv) oder hat unendlich viele Lösungen, dann ist der Kern ein mindestens eindimensionaler Unterraum - dann gibt es unendlich viele (auch wieder zweidimensionale) Vektoren, für die Ax = 0 gilt.
LG
Stelle Dir vor, A wäre eine Nullmatrix, dann ist das Bild komplett Null.
Nehmen wir an, der x-Vektor wäre der Nullvektor. Auch dann ist das Bild Null (angenommen, die Matrix gehört zu den linearen, homomorphen Abbildungen).
Ansonsten muss gelten:
a11x1 + a12x2 + a13x3 = 0
a21x1 + a22x2 + a23x3 = 0
9 Unbekannte, 2 Gleichungen, hört sich machbar an. Nehmen wir an, x wäre fest, dann 6 Unbekannte, 2 Gleichungen, immer noch machbar.
Sei
a11 = a12 + a13 also a11 - a12 - a13 = 0
a21 = a22 + a23 also a21 - a22 - a23 = 0
Dann führt jeder Vektor mit (x1; 0,5x1; 0,5x2) zum Nullvektor. Jetzt wirst Du sagen, der Zeilenrang ist 1 und nicht zwei, entsprechend auch der Spaltenrang. Jo, mag sein, aber ich habe einen Kern größer dem Nullvektor. Und es ist nur eines der möglichen Beispiele für die Konstruktion für eine solche Matrix.
Damit für eine 3×2-Matrix A die Multiplikation A ⋅ x durchführbar ist, muss x zwingend 2 Zeilen haben. Demnach also...
... mit zwei Einträgen. Und nicht x = (u, v, w) mit drei Einträgen.
Das als Gleichungssystem schreiben (Rechte Spalte enthält nur Nullen) und dann den Gauß Algorithmus anwenden