Wo ist der unterschied Rang und Kern einer Matrix?
ich habe herrausgefunden, dass:
Dim(Bild(A)=Rang(A)
ist und der Rang die anzahl der linear unabhängigen Zeilen einer Matrix ist. Somit mach ich einfach Ax=0 und führe das gauß verfahren durch.
Beim Kern allerding habe ich herraus gefunden dass:
Kern(A)=Lineare hülle{(vektoren)}
Der Kern is somit die lineare hülle. Die lineare hülle besteht aus den linear unabhängigen Spalten einer Matrix. Da dim(Kern(A))= die anzahl der Vektoren in der linearen hülle ist heißt das doch das:
dim(Kern(A))=Rang(A)
oder etwa nicht?
3 Antworten
dim(Kern(A))=Rang(A)
Nein.
Kern(A)=Lineare hülle{(vektoren)}
Woher?
Nein bedeutet es nicht. Dann wäre nämlich 2 Rang(A) = dim(def(A)), was nicht unbedingt zutreffen muss. Das würde nämlich aus dem Dimensionssatz folgen, wenn f: V -> W, dann dim V = dim(im(f)) + dim(ker(f)), was dementsprechend für Matrizen mit ihren jeweiligen Basen auch gilt. Ich weiß zwar jetzt nicht genau worauf du hinaus willst, aber es sieht mir falsch aus ;)
LG
Richtig ist
Dim(Bild(A)) = Rang(A). Alles gut.
Der Kern A ist die Menge aller Element des Raumes, die auf Null abgebildet werden. In der Tat ist das die Lösungsmenge von
Ax = 0. Wenn du also mit {Vektoren} ein Erzeugendensystem dieser Lösungsmenge meinst, dann hast du mit
Kern(y) = LineareHülle({Vektoren}) recht. Das ist aber nicht die lineare Hülle der linear unabhängigen Spaltenvektoren von A - das war ja gerade das Bild! Hier steckt der Wurm drin.
Am Ende kommt übrigens heraus;
Ist A eine nxn Matrix, so gilt
n = dim(Kern A) + dim(Bild A).