Beschreibende Matrix - Frage zur Definition?
Hallo,
hier die Definition...
Ich habe mal versucht, das nachzuvollziehen. Denn es soll dann später gelten, dass:
wobei v_B der Koordinantenvektor bezüglich der Basis B sein soll.
Mein Beispiel:
Ich wähle als Basis des V=IR² einmal die Standardbasis B=((1,0),(0,1)) und einmal W=IR² mit C=((1,2),(-1,1)).
Meine Lineare Abbildung F ist {{1,-1},{2,0}}·v (Matrix-Schreibweise wie in WolframAlpha). Ich verstehe das nun so:
F((1,0))=(1,2)
F((0,1))=(-1,0)
Nun frage ich mich, wie ich das in W mit den Basisvektoren aus C linearkombinieren kann:
(1,2)=ß_(1,1)·(1,2)+ß_(2,1)·(-1,1) => ß_(1,1)=1 und ß_(2,1)=0
(-1,0)=ß_(1,2)·(1,2)+ß_(2,2)·(-1,1) => ß_(1,2)-1/3 und ß_(2,2)=2/3
Dies fassen wir in eine 2x2-matrix zusammen: {{1,0},{-1/3,2/3}}.
Was soll nun
Ich verstehe das so, dass ich auf irgendeinen VEktor aus V die lineare Abbildung anwenden kann und das dann gleich der beschreibenden Matrix mal dem Koordinantenvektor ist.
v=3·(1,0)+2·(0,1)
F(3·(1,0)+2·(0,1))=3·F(1,0)+2·F(0,1)=3·(1,2)+2·(-1,0)=(1,6)
{{1,0},{-1/3,2/3}}·(3,2)=(3,1/3) und nicht (1,6). Was mache ich falsch?
2 Antworten
Du steckst zuviel da hinein. Kann ich total verstehen, weil dieser ganze Basiswechselkram sehr nervig ist. Aber soviel steckt hier noch nicht drin.
In dem Moment, in dem du Matrix und lineare Abbildung gleich setzt, benutzt du implizit eine Basis. Und da benutzt du auch für W intuitiv die kanonische Basis und versuchst das dann hin und her zu retten.
So ist das aber nicht gemeint. Hier hat man zunächst NUR eine lineare Abbildung und die beiden Vektorräume haben zunächst einmal Basen, von denen man nix weiß. Du identifizierst dann F vorschnell mit einer Matrix und machst das auf der Basis der kanonischen Basis.
Ich versuch es mal an einem Beispiel:
Ich habe wie du die Basen B=((1,0), (0,1)) und C=((1,2),(-1,1)).
Um meine lineare Abbildung F zu bestimmen, sage ich, dass das erste Basiselement von B auf das zweite von C und umgekehrt abgebildet werden soll. Das reicht ja schon aus, um eine lineare Abbildung zu bestimmen.
Dann ist
F((1,0)) = 0 * w_1 + 1 * w_2
F((0,1)) = 1 * w_1 + 0 * w_2
Meine Matrix M^B_C ist dann also nur
0 1
1 0
Mehr nicht. Wenn ich jetzt damit rechne, muss ich immer im Kopf haben, auf welche Basis sich das bezieht.
Jetzt stecke ich mal einen Vektor bzgl. der Basis B (also der kanonischen Basis) hinein, nämlich (1,2), da kommt auf der rechten Seite durch die Matrixmultiplikation gerade (2,1) heraus.
Was bedeutet dieses (2,1)? Dass der Vektor bzgl. der Basis C die Koeffizienten 2 und 1 hat, sich also darstellen lässt als
2 * w_1 + 1 * w_2
In diesem Fall kennen wir w_1 und w_2 und können dann die Darstellung auch zu einem Vektor bzgl. der kanonischen Darstellung weiterrechnen:
2 * w_1 + 1 * w_2 = 2(1,2) +1 (1,-1) = (3,3)
Aber das ist schon ein Schritt weiter.
Wenn ich das richtig verstehe, willst du wissen, wie man an die faktoren einer linearkombination kommt, dass ist gan einfach: mit einem lgs